Apakah kesetimbangan simetris terus menerus sehubungan dengan matriks hasil?

Asumsikan gim simetris dua pemain di mana imbalan untuk pemain baris diberikan oleh: $$ A = \ kiri (\ begin {array} {cc} a_ {1,1} & amp; a_ {1,2} & amp; \ cdots & amp; a_ {1, n} \\ a_ {2,1} & amp; a_ {2,2} & amp; \ cdots & amp; a_ {2, n} \\ \ vdots & amp; \ vdots & amp; \ ddots & amp; \ vdots \\ a_ {n, 1} & amp; a_ {n, 2} & amp; \ cdots & amp; a_ {n, n} \ end {array} \ kanan) $$

Kami menyatakan dengan $ \ Delta $ semua vektor probabilitas lebih dari $ [n] $.

Ekuilibrium simetris untuk gim adalah vektor $ a \ in \ Delta $ sedemikian rupa $$ \ forall x \ in \ Delta: x ^ tAa \ leq a ^ tAa $$

Asumsikan kita meningkatkan nilai beberapa koordinat $ i, j $ oleh variabel $ t $. Nyatakan matriks baru dengan $ A (t) $.

Dengan asumsi $ A $ adalah non-singular, apakah perubahan dalam keseimbangan simetris terus menerus dalam $ t $?

Saya sadar bahwa pertanyaannya mungkin tidak cukup jelas, karena mungkin ada lebih dari satu keseimbangan untuk $ A $, tetapi apakah perlu ada keseimbangan simetris untuk $ A (t) $ yang menyatu dengan keseimbangan simetris $ A $ as $ t \ to 0 $?

Jika saya memahami pertanyaan Anda dengan benar maka jawabannya adalah tidak. Mempertimbangkan

$$ A (h) = \ kiri (\ begin {array} {ccc} 1 & amp; 1 & amp; 0 \\ 0 & amp; 2 & amp; 0 \\ 2 + 2j & amp; 0 & amp; 3 \ end {array} \ kanan) $$ Untuk gim yang didefinisikan oleh $ A (0) $ vektor $ a ^ t (0) = \ kiri (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}, 0 \ kanan) $ menghasilkan keseimbangan . Namun untuk $ h & gt; 0 $ $$ A (h) \ cdot a (0) = \ kiri (\ begin {array} {ccc} 1 \\ 1 \\ 1 + h \ end {array} \ kanan), $$ jadi $ a (0) $ tidak lagi ekuilibrium. Jika bermain-main dengan probabilitas Anda akan melihat bahwa strategi di dekatnya juga tidak membentuk keseimbangan. Karenanya jika Anda memiliki urutan positif $ h_1, h_2, ... $ sedemikian rupa sehingga $ \ lim_ {n \ to \ infty} h_n = 0 $ maka Anda tidak dapat memilih urutan vektor $ a (h_1), a (h_2) , ... $ sedemikian rupa sehingga mereka adalah strategi keseimbangan dari masing-masing game mereka $ A (h_1), A (h_2), ... $ dan $$ \ lim_ {n \ hingga \ infty} a (h_n) = a (0). $$

Dalam contoh tandingan ini saya menggunakan tindakan yang tidak pernah dimainkan dalam $ a (0) $ menghasilkan imbalan yang sama dengan tindakan dengan dukungan positif. Jika ini tidak terjadi maka saya pikir jawaban untuk pertanyaan Anda akan menjadi afirmatif. Berikut ini adalah bukti untuk kasus di mana $ a & gt; 0 $.

Karena $ a ^ t $ adalah respons terbaik untuk $ a $ yang kami miliki $$ A \ cdot a = \ menggarisbawahi {1} \ cdot c $$ dengan $ \ garis bawah {1} $ adalah vektor dengan $ 1 $ pada semua koordinat dan $ c \ in \ mathbb {R} $. Jika $ A $ adalah non-singular maka $$ a = A ^ {- 1} \ cdot \ underline {1} \ cdot c. $$ Karena $ a $ adalah vektor probabilitas, $ c $ ditentukan secara unik oleh $ A $: $$ 1 = \ underline {1} ^ t \ cdot a = \ underline {1} ^ t \ cdot A ^ {- 1} \ cdot \ underline {1} \ cdot c $$ Saya akan menggunakan $ A (h) $ untuk menunjukkan matriks yang terganggu, dan $ a (h) $, $ c (h) $ untuk menunjukkan vektor terkait. Matriks dan vektor asli muncul pada $ h = 0 $. Karena inversi matriks kontinu $$ \ lim_ {h \ to 0} c (h) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {\ underline {1} ^ t \ cdot A (h) ^ {- 1} \ cdot \ underline { 1}} = \ frac {1} {\ underline {1} ^ t \ cdot A (0) ^ {- 1} \ cdot \ underline {1}} = c (0). $$ Demikian pula $$ \ lim_ {h \ to 0} a (h) = \ lim_ {h \ to 0} A (h) ^ {- 1} \ cdot \ underline {1} \ cdot c (h) = A (0) ^ { -1} \ cdot \ underline {1} \ cdot c (0) = a (0). $$ Ini bukan bukti yang pasti. Tepatnya Anda harus menentukan norma matriks, dan kemudian untuk membuktikan bahwa batas-batas di atas ada, Anda harus memiliki kondisi seperti $$ \ lim_ {h \ hingga 0} || A (h) || = || A (0) || \ neq 0. $$