Maksimalisasi keuntungan dengan fungsi Cobb-Douglas

Saya mencoba untuk memaksimalkan laba perusahaan mengingat fungsi produksi (di mana adalah tenaga kerja dan adalah modal) dan . $F(L,K)=L^\alpha K^\beta$ $L$ $K$ $\alpha + \beta \neq 1$

Jadi, saya tahu bahwa masalah maksimalisasi ini dapat ditulis sebagai . $\text{max }pF(L,K)-w_1 L-w_2 K$

Karena , . Dan karena , $pMP_L (L^*,K^*)=w_1$ $p\alpha(L^*)^{\alpha-1}(K^*)^\beta=w_1$ $pMP_K (L^*,K^*)=w_2$ . $p\beta(L^*)^{\alpha}(K^*)^{\beta-1}=w_2$

Dengan membagi fungsi-fungsi ini dan menyederhanakan, kita mendapatkan . $\displaystyle\frac{\alpha K^*}{\beta L^*}=\displaystyle\frac{w_1}{w_2}$

Saya tidak yakin bagaimana melanjutkan dari sini. Haruskah saya memecahkan untuk dengan memisahkan dari persamaan dan menghubungkannya ke ? Bukankah ini menghasilkan solusi yang sangat rumit? $L^*$ $K^*$ $pMP_L$

self-study cobb-douglas profit-maximization

— pril
sumber

Bagaimana kalau benar-benar memaksimalkan sehubungan dengan variabel keputusan? (Yaitu, ambil turunannya, setel dengan nol, dll.)

— Giskard

sistem yang Anda coba selesaikan memiliki dua persamaan yaitu turunan dari fungsi laba wrt untuk masing-masing input; apa yang telah Anda peroleh di atas hanyalah hasil dari membagi persamaan pertama Anda dengan persamaan kedua Anda; Anda masih memiliki satu persamaan lagi yang tidak Anda manfaatkan ...

p F (L, K) - w_{1} L - w_{2} K

$pF(L,K)-w_1 L - w_2 K$

p F (K, L) - w_{1} L - w_{2} K

$p F(K,L)-w_1L-w_2K$

F (K, L) = c

$F(K,L)=c$

Saya memberikan suara untuk menutup pertanyaan ini sebagai di luar topik karena berdasarkan komentar masalah OP adalah dengan matematika, bukan ekonomi.

— Giskard

$L^∗$ $K^∗$ $pMP_{L}$

Ya, itu saja.

Bukankah ini menghasilkan solusi yang sangat rumit?

Agak. Matematika tersedia di banyak tempat, seperti bagian 4 di sini . Tapi Anda pasti bisa melakukannya sendiri!

— 90.hitesh
sumber