OP benar dalam menunjukkan bahwa "Non-Satiation Lokal (LNS) hanya mengatakan ada (utilitas) peningkatan arah tetapi tidak mengatakan ke arah mana ia meningkat". Yaitu, kami menghibur kemungkinan berurusan dengan "kejahatan" juga, tidak hanya dengan "barang". Buku MWG Teori Mikroekonomi halaman 43 Gambar 3.B.1 menggambarkan situasi yang persis seperti itu.
Tapi itu adalah kasus bahwa, ketika bundel set , di bawah LNS tidak semua item bisa bads . Karena itu, vektor nol akan menjadi titik kenyang (dan karenanya akan melanggar asumsi LNS). R+
Jadi menggunakan jumlah item yang tidak negatif dan memaksakan LNS memaksa kita untuk hanya mempertimbangkan kasus di mana setidaknya satu item dalam bundel adalah barang yang baik dan bukan yang buruk, dalam hal ini "lebih banyak lebih baik" untuk item ini.
Kemudian, kita dapat membuktikan bahwa ketidakpuasan lokal menyiratkan kehabisan anggaran yang tersedia.
Ad absurdum, asumsikan . Di bawah LNS untuk setiap , ada yang lebih disukai daripada . Jika beberapa layak, , maka tidak bisa menjadi pilihan optimal sejak awal.ϵ > 0 y ( ϵ ) x ∗ y ( ϵ ) p y ( ϵ ) ≤ m x ∗px∗<mϵ>0y(ϵ)x∗y(ϵ)py(ϵ)≤mx∗
Jadi pertanyaannya adalah: Apakah mungkin bahwa semua yang lebih disukai daripada bawah LNS, tidak layak, ?x ∗ p y ( ϵ ) > m ,y(ϵ)x∗py(ϵ)>m,∀ϵ>0
Saya kira OP dapat mengambilnya dari sini.