Monopoli hanyalah kesalahpahaman matematis

Sedikit goresan kepala (dan contoh yang bagus mengapa kita harus berhati-hati dengan notasi).

Pertimbangkan monopoli pemaksimalan keuntungan, yang mengatasi harga

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

Mengikuti langkah-langkah rutin ( lihat posting ini )

kita sampai pada hasil penting bahwa, pada harga pemaksimalan laba, elastisitas harga permintaan harus lebih tinggi dari dalam hal absolut, atau lebih rendah dari dalam istilah aljabar. Yaitu dengan harga maksimalisasi keuntungan yang kami miliki- $1$$-1$

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

Tetapi adalah turunan dari dan , Total Revenue. Jadi , Pendapatan Marjinal dan kami baru saja memperoleh bahwa pada harga yang memaksimalkan laba dan untuk memiliki elastisitas lebih besar dari dalam istilah absolut, kita harus memiliki .PQ(P)PQ(P)=TR∂$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$$PQ(P)$$PQ(P) = TR$1MR∗<$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$$1$$MR^* <0$

Tetapi kami juga sekarang bahwa pada titik pemaksimalan laba kami memiliki .$MR^*=MC^*>0$

Jadi solusi tidak ada, dan karena itu kami menyimpulkan bahwa monopoli hanyalah kesalahpahaman matematis.

Sekarang, saya pergi ke masalah (?) Untuk menulis posting menyeringai ini, saya berharap seseorang akan masuk ke beberapa lusin detik yang diperlukan untuk menulis jawaban yang jelas untuk menunjukkan di mana trik itu berada.

$PQ(P)=TR$ , Total Pendapatan.

PQ(P)P$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ adalah turunan dari terhadap .$PQ(P)$ $P$

T R Q$MR$ , Marginal Revenue, adalah turunan dari sehubungan dengan .$TR$ $Q$

Jadi secara umum$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

Untuk melengkapi jawaban to-the-point @AdamBailey, tujuan dari posting ini adalah untuk mengingatkan pembaca yang tertarik akan konsekuensi perubahan variabel keputusan dalam pemikiran kami.

Kita terbiasa menganggap Permintaan sebagai "harga tergantung pada kuantitas" atau "kuantitas tergantung pada harga". Tetapi pada sisi biaya produksi, kita secara otomatis cenderung memikirkan biaya tergantung pada kuantitas, bukan pada harga jual.

Karena itu, menjadi sedikit terlalu eksplisit dengan notasi terbayar (tanyakan pada mereka tentang optimasi dinamis, misalnya buku Caputo ). Dalam contoh spesifik, simbol , , , tidak mengungkapkan variabel keputusan, dan di sinilah ruse didasarkan. Tetapi jika, kami menulisM R M $TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

kami akan dengan jelas mengisyaratkan bahwa variabel keputusan akhir kami adalah harga, dan sebagainya

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

sementara kita juga akan melihatnya dengan jelas

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

dan sehingga persyaratan elastisitas harga dari permintaan mengarah ke

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

(sejak ). Jadi pada titik optimal, pendapatan marjinal sehubungan dengan kuantitas harus positif, tetapi pendapatan marjinal sehubungan dengan harga harus negatif.$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$