Homogen derajat satu dalam fungsi utilitas.


10

Pertanyaan

masukkan deskripsi gambar di sini

Solusi saya adalah sebagai berikut. Silakan periksa solusi saya. Jika saya melakukan kesalahan, tolong beri tahu. Saya benar-benar tidak yakin dengan solusi saya. Terima kasih

U (x) adalah homogen dari derajat satu yaitu u (tx) = tu (x)

Pertama saya menunjukkan bahwa fungsi utilitas tidak langsung adalah homogen derajat satu dalam m.

Dengan maksimalisasi utilitas,

V (p, m) = maks u (x) tunduk pada px m

tv (p, m) = maks tu (x) tunduk pada px m

Karena u (tx) = tu (x), tv (p, m) = maks u (tx) tunduk pada px m

Kemudian v (p, tm) = tv (p, m)

Itu adalah fungsi utilitas tidak langsung homogen dari tingkat satu.

Saya menunjukkan bahwa fungsi pengeluaran adalah homogen derajat satu di u dengan menggunakan hasil sebelumnya.

saya tahu itu

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Karena u (x) homogen derajat satu dan v (p, m) homogen derajat satu dalam m, v (p, e (p, u)) harus homogen dengan derajat satu dalam e (p, u) .

Dengan kata lain, v (p, e (p, u (tx)))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) memegang iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

yaitu Fungsi mahal e (p, u) homogen dengan derajat satu dalam u.


Sekarang saya akan menunjukkan bahwa permintaan marshallian x (p, m) adalah homogen dari derajat satu dalam m.

Dengan identitas Roy,

v(p,m)/pv(p,m)/m=x(p,m)

Dengan hasil pertama, karena v (p, m) adalah homogen derajat satu dalam m, maka x (p, m) adalah homogen derajat satu dalam m.

sekarang mari kita tunjukkan bahwa permintaan hicksian adalah homogen dari derajat satu dalam u.

saya tahu itu

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Karena e (p, u) homogen derajat satu pada bagian kedua,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) harus berlaku karena persamaan (1) ada.

Itu adalah permintaan hicksian yang homogen dari tingkat satu di u.


2
Anda tidak melakukan hal buruk. Untuk bukti pertama Anda, perhatikan bahwa Anda harus menulis u(tx)=tu(x)tv(p,m)=maxu(tx)s.t.p(tx)tm=v(p,tm)
Alecos Papadopoulos

Jawaban:


5

Cara Anda menunjukkan bahwa adalah homogen dari tingkat satu dalam adalah benar, tetapi alasan mengapa ini menyiratkan bahwa, adalah homogen dari tingkat satu dalam diri , tidak terlalu tepat dalam argumen Anda . Sebagai contoh, dualitas memberi tahu kita mana hanyalah level utilitas target, tetapi seharusnya tidak menjadi seperti pada buktimu.v(p,m)me(p,u)u

v(p,e(p,u))=u,
uu(x)

Berikut adalah salah satu cara yang mungkin untuk melanjutkan: Karena adalah homogen dari tingkat satu dalam , dapat ditulis sebagai Menerapkan persamaan memberi yang secara jelas mengimplikasikan bahwa adalah homogen tingkat satu dalam . Anda dapat menggunakan argumen serupa untuk membuktikan homogenitas permintaan Hicksian.v(p,m)m

v(p,m)=mv(p,1)=mv~(p).
v(p,e(p,u))=u
e(p,u)=uv~(p),
e(p,u)u

Dengan semua itu, saya sarankan Anda membuktikan pernyataan asli secara langsung menggunakan definisi fungsi pengeluaran dan permintaan Hicksian. Misalnya,

e(p,λu)=minpx   s.t. u(x)λu=λminp1λx   s.t. 1λu(x)u=

Oke terima kasih. Saya melakukannya untuk permintaan hicksian juga. Silakan periksa solusi saya juga untuk permintaan hicksian. lagi mari kita menormalkan m = 1. Dan . Karena maka saya memiliki oleh karena itu, karena e (p, u) adalah homogen dari derajat satu dalam u, maka permintaan hicksian adalah homogen dari tingkat satu di u juga. Apakah ini benar? Silakan periksa lagi sayang @ZiweiWang terima kasih banyak. :)x(p,m)=mx(p,1)=mx~(p)x(p,e(p,u))=h(p,u)h(p,u)mx~(p)=e(p,u)
none009

1
Perhatikan bahwa Anda terhubung ke , jadi (yaitu tidak akan muncul dalam ekspresi Anda untuk .)m=e(p,u)h(p,u)=x~(p)e(p,u)mh(p,u)
Ziwei Wang
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.