Homogen derajat satu dalam fungsi utilitas.

Pertanyaan

Solusi saya adalah sebagai berikut. Silakan periksa solusi saya. Jika saya melakukan kesalahan, tolong beri tahu. Saya benar-benar tidak yakin dengan solusi saya. Terima kasih

U (x) adalah homogen dari derajat satu yaitu u (tx) = tu (x)

Pertama saya menunjukkan bahwa fungsi utilitas tidak langsung adalah homogen derajat satu dalam m.

Dengan maksimalisasi utilitas,

V (p, m) = maks u (x) tunduk pada px m $\le$

tv (p, m) = maks tu (x) tunduk pada px m $\le$

Karena u (tx) = tu (x), tv (p, m) = maks u (tx) tunduk pada px m $\le$

Kemudian v (p, tm) = tv (p, m)

Itu adalah fungsi utilitas tidak langsung homogen dari tingkat satu.

Saya menunjukkan bahwa fungsi pengeluaran adalah homogen derajat satu di u dengan menggunakan hasil sebelumnya.

saya tahu itu

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Karena u (x) homogen derajat satu dan v (p, m) homogen derajat satu dalam m, v (p, e (p, u)) harus homogen dengan derajat satu dalam e (p, u) .

Dengan kata lain, v (p, e (p, u (tx)))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) memegang iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

yaitu Fungsi mahal e (p, u) homogen dengan derajat satu dalam u.

Sekarang saya akan menunjukkan bahwa permintaan marshallian x (p, m) adalah homogen dari derajat satu dalam m.

Dengan identitas Roy,

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

Dengan hasil pertama, karena v (p, m) adalah homogen derajat satu dalam m, maka x (p, m) adalah homogen derajat satu dalam m.

sekarang mari kita tunjukkan bahwa permintaan hicksian adalah homogen dari derajat satu dalam u.

saya tahu itu

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Karena e (p, u) homogen derajat satu pada bagian kedua,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) harus berlaku karena persamaan (1) ada.

Itu adalah permintaan hicksian yang homogen dari tingkat satu di u.

— tidak ada009
sumber

Anda tidak melakukan hal buruk. Untuk bukti pertama Anda, perhatikan bahwa Anda harus menulis

u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

— Alecos Papadopoulos

Cara Anda menunjukkan bahwa adalah homogen dari tingkat satu dalam adalah benar, tetapi alasan mengapa ini menyiratkan bahwa, adalah homogen dari tingkat satu dalam diri , tidak terlalu tepat dalam argumen Anda . Sebagai contoh, dualitas memberi tahu kita mana hanyalah level utilitas target, tetapi seharusnya tidak menjadi seperti pada buktimu. $v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, u)) = u,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

Berikut adalah salah satu cara yang mungkin untuk melanjutkan: Karena adalah homogen dari tingkat satu dalam , dapat ditulis sebagai Menerapkan persamaan memberi yang secara jelas mengimplikasikan bahwa adalah homogen tingkat satu dalam . Anda dapat menggunakan argumen serupa untuk membuktikan homogenitas permintaan Hicksian. $v(p,m)$ $m$

v (p, m) = m v (p, 1) = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, u) = \frac{u}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

Dengan semua itu, saya sarankan Anda membuktikan pernyataan asli secara langsung menggunakan definisi fungsi pengeluaran dan permintaan Hicksian. Misalnya,

\begin{aligned} e (p, λ u) & = min p \cdot x s.t. u (x) \geq λ u \\ = λ min p \cdot \frac{1}{λ} x s.t. \frac{1}{λ} u (x) \geq u \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Ziwei Wang
sumber

Oke terima kasih. Saya melakukannya untuk permintaan hicksian juga. Silakan periksa solusi saya juga untuk permintaan hicksian. lagi mari kita menormalkan m = 1. Dan . Karena maka saya memiliki oleh karena itu, karena e (p, u) adalah homogen dari derajat satu dalam u, maka permintaan hicksian adalah homogen dari tingkat satu di u juga. Apakah ini benar? Silakan periksa lagi sayang @ZiweiWang terima kasih banyak. :)

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

— none009

Perhatikan bahwa Anda terhubung ke , jadi (yaitu tidak akan muncul dalam ekspresi Anda untuk .)

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$

— Ziwei Wang