Jika utilitas (langsung) cekung dalam semua barang, apakah utilitas tidak langsung harus cekung dalam kekayaan?

Misalkan utilitas langsung cekung di setiap argumennya. Apakah ini menyiratkan bahwa utilitas tidak langsung cekung sehubungan dengan ? Jika semua barang normal dari ini dapat dibuktikan. mis. menggunakan pengganda Lagrange. Tapi, apakah itu benar secara umum? $u(x_1,...,x_n)$ $U(w,p)$ $w$

Orang dapat menganggap bahwa diferensial sebanyak yang diperlukan. $u$

Terima kasih.

microeconomics consumer-theory

— pengguna154729
sumber

apa yang Anda tulis adalah dengan asumsi bahwa

menurun yang berarti;

bagaimana Anda menyimpulkan itu? Saya tidak bisa dengan mudah dari

. Apakah itu berarti permintaan adalah fungsi cekung ketika utilitas cekung?

\begin{array}{rcl} u (x^{d} (p, λ m^{'} + (1 - λ) m^{″})) \geq u (λ x^{d} (p, m^{'}) + (1 - λ) x^{d} (p, m^{″})) \end{array}

$\begin{eqnarray*} u(x^d(p, \lambda m' + (1-\lambda)m'')) \geq u(\lambda x^d(p, m') + (1-\lambda)x^d(p, m'')) \end{eqnarray*}$

u (.)

$u(.)$

\begin{array}{rcl} x^{d} (p, λ m^{'} + (1 - λ) m^{″}) \geq λ x^{d} (p, m^{'}) + (1 - λ) x^{d} (p, m^{″}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} x^d(p, \lambda m' + (1-\lambda)m'') \geq \lambda x^d(p, m') + (1-\lambda)x^d(p, m'') \end{eqnarray*}$

(1)

$(1)$

— meh

Jawaban:

Pernyataan Anda tampaknya juga tidak berlaku untuk barang normal. Contoh tandingan: Oleh properti Cobb-Douglas bundel optimal yang diberikan adalah sehingga kedua barang tersebut normal. Utilitas tidak langsung adalah Di sini dinaikkan ke daya yang lebih tinggi dari 1 sehingga cembung di .

U (x_{1}, x_{2}) = (x_{1} x_{2})^{\frac{2}{3}}

$U(x_1,x_2) = (x_1x_2)^{\frac{2}{3}}$

w, p

$w,p$

(x_{1}, x_{2}) = (\frac{w}{2 p_{1}}, \frac{w}{2 p_{2}}),

$(x_1,x_2) = \left(\frac{w}{2p_1}, \frac{w}{2p_2}\right),$

U (w, p) = {(\frac{1}{4 p_{1} p_{2}})}^{\frac{2}{3}} w^{\frac{4}{3}} .

$U(w,p) = \left(\frac{1}{4p_1p_2}\right)^{\frac{2}{3}}w^{\frac{4}{3}}.$

w

$w$

U (w, p)

$U(w,p)$

w

$w$

— Giskard
sumber

Mungkin perlu menunjukkan bahwa ini setidaknya sebagian karena pilihan representasi utilitas Anda. Fungsi utilitas mewakili preferensi yang sama, tetapi memiliki utilitas tidak langsung yang linear dalam .

\hat{U} (x_{1}, x_{2}) = (x_{1} x_{2})^{1 / 2}

$\hat{U}(x_1,x_2) = (x_1 x_2)^{1/2}$

w

$w$

— Theoretical Economist

@TheoreticalEconomist Ya, tetapi juga perhatikan bahwa pilihan representasi utilitas tidak sepenuhnya gratis. Yaitu bukan contoh tandingan yang baik, karena meskipun ia jelas memiliki fungsi utilitas tidak langsung cembung, ia tidak cekung pada barang secara individual. Jadi ruang representasi agak terbatas dan pilihan saya ada dalam batasan. Pertanyaan terbalik dari "Jika fungsi utilitas tidak langsung cekung dalam pendapatan apakah selalu ada cekung dalam representasi fungsi utilitas barang?" menarik.

U (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} x_{2}^{2}

$U(x_1,x_2) = x_1^2x_2^2$

— Giskard

Pertanyaan: jika cekung (sebagai fungsi multi-dimensi), apakah ini menjamin bahwa utilitas tidak langsung cekung? Saya pikir itu benar, tetapi apakah saya salah lagi?

u

$u$

— user154729

@denesp Untuk pertanyaan Anda "Jika fungsi utilitas tidak langsung cekung dalam pendapatan, apakah selalu ada cekung dalam representasi fungsi utilitas barang?". Tampak bagi saya bahwa utilitas tidak langsung cekung hanya mengatakan sesuatu tentang struktur utilitas di sekitar jalur alokasi optimal. Jauh dari jalur ini, utilitas dapat berperilaku sewenang-wenang, asalkan tidak memberikan alokasi yang optimal. Jadi, bagi saya tampaknya akan sulit untuk menyimpulkan segala jenis konkavitas global dari konkavitas utilitas tidak langsung.

— user154729

@Giskard: ya tapi masih kehalusan tidak jelas (bagi saya) karena judul pertanyaan (dicetak tebal juga) "Jika utilitas (langsung) cekung di semua barang ...". Pokoknya saya berpikir bahwa kedua jawaban itu menarik untuk melihat kapan properti itu berlaku dan kapan tidak.

— Bertrand

Mungkin layak untuk menyatakan bahwa: jika cekung (sebagai fungsi multi-dimensi), itu akan menghasilkan fungsi utilitas tidak langsung yang cekung di . $u$ $m$

Jika adalah cekung, maka fungsi utilitas tidak langsung didefinisikan sebagai juga cekung dalam . Di sini adalah anggaran yang ditetapkan. Misalkan menunjukkan solusi untuk masalah maksimalisasi sehingga . $u:\mathbb{R}^n_+\rightarrow \mathbb{R}$ $v:\mathbb{R}^n_+ \times \mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}$ $v(p, m) := \displaystyle\max_{x\in B(p, m)} u(x)$ $m$ $B(p, m) = \{x \in \mathbb{R}^n_+ : p\cdot x \leq m\}$ $x^d(p, m)$ $\displaystyle\max_{x\in B(p, m)} u(x)$ $v(p, m) = u(x^d(p, m))$

Pertimbangkan sembarang , dan dan a , $m'$ $m''$ $\lambda \in [0, 1]$

$p\cdot x^d(p, m') \leq m'$

$p\cdot x^d(p, m'') \leq m''$

Karena itu,

$p\cdot (\lambda x^d(p, m') + (1-\lambda)x^d(p, m'')) \leq \lambda m' + (1-\lambda) m'' \tag{1}$

Akibatnya,

\begin{array}{rcl} v (p, λ m^{'} + (1 - λ) m^{″}) & = & u (x^{d} (p, λ m^{'} + (1 - λ) m^{″})) \\ \geq & u (λ x^{d} (p, m^{'}) + (1 - λ) x^{d} (p, m^{″})) & [b y (1)] \\ \geq & λ u (x^{d} (p, m^{'})) + (1 - λ) u (x^{d} (p, m^{″})) & [b y concavity of u] \\ = & λ v (p, m^{'}) + (1 - λ) v (p, m^{″}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} v(p, \lambda m' + (1-\lambda)m'')& = & u(x^d(p, \lambda m' + (1-\lambda)m'')) & \\ & \geq & u(\lambda x^d(p, m') + (1-\lambda)x^d(p, m'')) & \ \ [by \ (1)] \\ & \geq & \lambda u(x^d(p, m')) + (1-\lambda)u(x^d(p, m'')) & \ \ [by \ \text{concavity of } u] \\ & = & \lambda v(p, m') + (1-\lambda)v(p, m'') & \end{eqnarray*}$

— Amit
sumber

Anda dapat memperkirakan bahwa ketidaksetaraan pertama Anda mengikuti fakta bahwa pada pendapatan , bundel memaksimalkan utilitas, sementara ini belum tentu merupakan kasus untuk bundel alternatif yang layak

λ m^{'} + (1 - λ) m^{″}

$\lambda m' + (1-\lambda)m''$

x^{d} (p, λ m^{'} + (1 - λ) m^{″})

$x^d(p, \lambda m' + (1-\lambda)m'')$

λ x^{d} (p, m^{'}) + (1 - λ) x^{d} (p, m^{″})

$\lambda x^d(p, m') + (1-\lambda)x^d(p, m'')$

— Bertrand