Konsumen optimal dalam perekonomian dengan rangkaian komoditas

Pertimbangkan ekonomi dengan rangkaian komoditas, dengan satu komoditas untuk setiap titik dalam .$[0,1]$

Misalkan konsumen ingin memaksimalkan tunduk pada mana adalah jumlah -th dikonsumsi komoditas, harganya dan pendapatan uang konsumen.∫ 1 0 p i c

$$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$$ c saya i p i $$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$$ $c_i$$i$$p_i$$M$

Masalah semacam ini muncul misalnya dalam menerapkan model Dixit-Stiglitz pada ekonomi makro atau perdagangan internasional.

Solusi untuk masalah ini seharusnya mana adalah konstanta yang dipilih untuk memastikan bahwa batasan anggaran dipenuhi.

$$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$$ $A$

Saya tidak begitu puas dengan derivasi dari hasil ini yang menggunakan pengganda Lagrange dalam analogi dengan kasus sejumlah komoditas. Apa yang akan menjadi metode yang benar-benar ketat secara matematis untuk memperoleh hasil di atas?

Tampak jelas bahwa tidak ada solusi unik karena mengubah nilai sewenang-wenang untuk sejumlah nilai terbatas dari akan membiarkan integral dalam fungsi utilitas dan batasan anggaran tidak berubah. Saya berharap derivasi yang sangat ketat juga akan menunjukkan dengan tepat tingkat keanehan ini.$c_i$$i$

Sunting: Menanggapi komentar oleh @BKay, @Ubiquitous. Masalah saya dengan memulai dengan ekonomi dengan komoditas dan mengambil batas sebagai adalah bahwa ini perlu disertai dengan argumen yang menunjukkan bahwa batas optima adalah optimal dari masalah batas. Saya akan menghargai referensi ke hasil yang menunjukkan ini baik untuk masalah khusus ini atau hasil umum yang berlaku untuk masalah ini.n → $n$$n \to \infty$

Menanggapi @AlecosPapadopoulos. Bukti dari metode pengali Langrange yang diajarkan dalam matematika untuk mata pelajaran ekonomi biasanya untuk sejumlah terbatas variabel pilihan. Saya akan sangat menghargai referensi di mana metode ini dibenarkan untuk rangkaian variabel pilihan. Juga, keanehan yang saya sebutkan di atas menunjukkan bahwa metode ini tidak bisa benar. Lalu apa sebenarnya kualifikasi yang diperlukan untuk validitasnya?

Hal yang benar-benar ketat adalah menulis persamaan lagrange Euler dari masalah kalkulus variasi ini, ini akan memberi Anda solusi kuat yang Anda miliki atau solusi lemah yang ditulis sehubungan dengan distribusi.

Seperti yang dicatat OP dalam komentar, Teorema 1 di bagian 12 Kolomogorov dan Kalkulus Variasi Fomin tampaknya memberikan sedikit kenyamanan bahwa kita memang bisa menggunakan metode Pengganda Langrange ketika jumlah variabel kita tidak terbatas. Namun, penulis melakukannya dalam catatan kaki, menulis "pembaca akan dengan mudah mengenali analogi dengan pengganda Langrange". Jadi tidak, ini tidak menunjukkan dengan keras apa yang kita inginkan.

Saya pikir yang kita butuhkan adalah kertas seperti Craven, BD (1970). Generalisasi pengganda Lagrange. Buletin Masyarakat Matematika Australia, 3 (03), 353-362. yang dalam ringkasannya menulis:

Metode pengganda Lagrange untuk memecahkan masalah nilai stasioner terbatas dibatasi untuk memungkinkan fungsi mengambil nilai dalam ruang Banach yang sewenang-wenang (di atas bidang nyata). Himpunan pengali Lagrange dalam masalah dimensi-terbatas ditunjukkan digantikan oleh pemetaan linear kontinu antara ruang Banach yang relevan.

Ini adalah matematika-berbicara tetapi mengatakan apa yang ingin kita dengar (kita juga dapat menemukan eksposisi singkat di wikipedia ke tingkat yang mempercayai konten).

Kemudian, kita bisa membentuk Lagrangean dari masalahnya

$$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$$

dan menghitung kondisi orde pertama dengan, secara informal, "melihat integral dan melihat jumlah",

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$$

... rangkaian kondisi. Untuk penggunaan selanjutnya kami mendefinisikan

$$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$$

Konstanta dapat ditunjukkan sebagai elastisitas substitusi antara dua barang.$\sigma$

Menulis untuk komoditas dan menyamakan melalui pengganda lagrange umum kita tiba di$(1)$$j$

$$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$$

Lipat gandakan kedua sisi dengan dan ambil integral di atas ruang komoditas sehubungan dengan :$p_i$$i$

$$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$$

yang merupakan permintaan Marshallian untuk komoditas .$j$

Ini hanyalah penjabaran dari jawaban yang diberikan oleh @ user157623. Saya mempostingnya sebagai wiki komunitas untuk kenyamanan.

Teorema 1 dari Bagian 12 dari Kolmogorov dan Kalkulus Variasi Fomin mengatakan

Dengan fungsi biarkan kurva yang diterima memenuhi kondisi mana adalah fungsi lain, dan biarkan memiliki ekstrum untuk . Kemudian, jika bukan merupakan ekstrim dari , terdapat konstanta sehingga adalah bentuk ekstral dari fungsional yaitu, memenuhi persamaan diferensial

$$J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$ $$y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$$ $K[y]$$J[y]$$y=y(x)$$y=y(x)$$K[y]$$\lambda$$y=y(x)$ $$\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$$ $y=y(x)$ $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$$

Kita dapat mencoba menerapkan teorema ini pada masalah kita dengan mengambil menjadi , menjadi , dan .$x$$i$$c$$y$$F(i,c,c')=c^\theta$$G(i,c,c')=pc$

Kemudian persamaan diferensial akhir dalam teorema menjadi yang tepat seperti yang kita butuhkan.

$$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$$

Apakah teorema itu berlaku? Kami adalah linear, sehingga tidak dapat memiliki extremal, sehingga persyaratan tidak memiliki extremal mudah puas. Kondisi batas pada dan tidak masalah karena jika jalur , katakanlah , adalah ekstrim tanpa kondisi batas apa pun maka itu adalah ekstrim dalam himpunan .y ( a ) y ( b ) c c ∗ ( i ) c ( 0 ) = c ∗ ( 0 ) , c ( 1 ) = c ∗ ( 1 $K[y]$$y(a)$$y(b)$$c$$c^*(i)$$c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

Satu-satunya tangkapan adalah sifat teorema itu sendiri. Ini memberikan kondisi yang diperlukan untuk optimal. Mengingat bahwa dalam kasus kami kondisi yang diperlukan memberikan hasil yang unik, semua yang kita butuhkan untuk mencukupi adalah dengan menyatakan bahwa masalah kita memiliki solusi.

Buktinya dalam Kolmogorov-Fomin mengasumsikan bahwa fungsi yang kita hadapi memiliki turunan pertama yang berkelanjutan. Jadi kita masih perlu menunjukkan bahwa masalah konsumen memiliki fungsi yang optimal di kelas ini tetapi mengingat bahwa masalahnya sudah terpecahkan.