Cara menghitung hasil Pareto Optimal dalam game dengan Ekuilibrium Nash

Saya memiliki dua periode permainan.

Dalam periode 1, Union memutuskan tawaran upah $ w $.

Dalam periode 2, perusahaan memutuskan L, diberikan upah.

Serikat memaksimalkan $ wL $

Perusahaan memaksimalkan $ = (L (100-L) - wL) \ quad jika \ quad L & lt; = 50 \ quad atau \ quad (2500 - wL) \ quad jika \ quad L & gt; 50 $

SPNE dari game ini adalah: w = 50, L = 25.

Saya perlu menghitung alokasi PO. Saya tahu itu keluar, tapi saya tidak yakin tentang cara mendapatkannya dari hadiah. (Contoh: w = 40, L = 40. Memberi imbalan yang lebih besar baik perusahaan maupun serikat.) Tetapi, bagaimana saya menghitung set hasil PO dari fungsi memberi? Atau bahkan hasil PO tunggal, tanpa menebak?

Untuk optimalitas Pareto, Anda dapat mengabaikan waktu. Juga, apa pun yang Anda ketahui tentang keseimbangan Nash dalam game ini tidak relevan.

Biarkan $ v_F (w, L) $ menjadi imbalan dari perusahaan dan $ v_U (w, L) $ menjadi imbalan dari serikat yang diberikan $ (w, L) $. Apa yang Anda cari adalah pasangan $ (w, L) $ sedemikian rupa sehingga baik perusahaan maupun serikat tidak dapat memiliki hasil yang lebih tinggi tanpa pihak lain memiliki hasil yang lebih rendah. Secara ekuivalen, Anda ingin imbalan perusahaan menjadi sebesar mungkin di bawah batasan bahwa serikat tidak dapat memiliki upah yang lebih rendah dan Anda ingin upah serikat menjadi sebesar mungkin di bawah batasan bahwa perusahaan tidak dapat memiliki hadiah yang lebih rendah.

Ini berarti bahwa $ (w, L) $ adalah Pareto optimal jika dan hanya jika itu memecahkan dua masalah maksimalisasi berikut:

$$ \ maks _ {(w ', L')} v_F ~ \ text {s.t.} ~ v_U (w ', L') \ geq v_U (w, L). $$ $$ \ maks _ {(w ', L')} v_U ~ \ text {s.t.} ~ v_F (w ', L') \ geq v_F (w, L). $$

Sekarang jika Anda hanya perlu menemukan satu Pareto optimal dan tidak semua Pareto optimal, Anda bisa memaksimalkan $ v_F + vU $.

Untuk menemukan Pareto hasil optimal, cukup maksimalkan total pendapatan tenaga kerja dan perusahaan. \ begin {eqnarray *} \ max_ {L} \ \ \ begin {cases} L (100-L) & amp; \ text {if} L \ leq 50 \\ 2500 & amp; \ text {if} L & gt; 50 \ end {cases} \ end {eqnarray *} Solusi untuk masalah di atas adalah $ L \ geq 50 $. Total pendapatan maksimum yang sesuai adalah 2500, yang sekarang dapat dibagi antara tenaga kerja dan perusahaan dengan cara apa pun, sehingga menghasilkan semua alokasi optimal Pareto. Oleh karena itu, set semua hasil optimal Pareto di mana perusahaan dan tenaga kerja mendapatkan imbalan non-negatif adalah: $ \ {(w, L) \ in \ mathbb {R} ^ 2_ +: L \ geq 50, wL \ leq 2500 \} $