Hubungan Preferensi Leksikografis pada QxR

Saya ingin meminta bantuan Anda. Baru-baru ini saya mengetahui bahwa hubungan Preferensi Lisan dapat diwakili oleh fungsi utilitas pada (tetapi bukan ). $u:X\to\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}\times\mathbb{R}$ $\mathbb{R}\times\mathbb{Q}$

Yang perlu diingat, hubungan preferensi leksikografis mengatakan bahwa pada , x jika dan hanya jika atau dan mana dan . $\mathbb{R^2}$ $x\succeq y$ $x_1>y_1$ $x_1=y_1$ $x_2\geq y_2$ $x=(x_1,x_2)$ $y=(y_1,y_2)$

Jadi, saya ingin melihat bukti dari pernyataan ini dan bagaimana mungkin untuk membangun representasi utilitas seperti itu. Saya kira kita harus berasumsi pertama bahwa ada representasi utilitas untuk preferensi Lexicographic pada karena yang terakhir dapat dihitung, tetapi saya hilang setelahnya. $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$

Terima kasih banyak atas bantuan Anda!

preferences decision-theory

— Rororo
sumber

Catatan pertama bahwa untuk setiap trivial (lebih dari satu titik) Interval kompak , terdapat ketat meningkatkan fungsi dari ke . $I$ $\mathbb{R}$ $I$

Biarkan menjadi enumerasi dari . Kami akan mendefinisikan induktif, satu setelah yang lainnya. $\langle q_1,q_2, q_3,\ldots\rangle$ $\mathbb{Q}$ $u:\mathbb{Q}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $q_n$

Biarkan menjadi interval kompak nontrivial dan meningkat secara ketat. $I_1$ $u_1:\mathbb{R}\to I_1$

Sekarang asumsikan ada interval kompak nontrivial yang terpisah yang dipesan pada baris seperti , dan fungsi yang sangat meningkat untuk . Karena interval ini ditutup dan dipisahkan, ada ruang antara dua interval berurutan. Jadi seseorang dapat menempatkan interval kompak nontrivial di tempat yang sesuai dengan antara . Pilih juga beberapa fungsi yang benar-benar meningkat . $I_1,\ldots,I_n$ $q_1,\ldots,q_n$ $u_m:\mathbb{R}\to I_m$ $m\leq n$ $I_{n+1}$ $q_{n+1}$ $q_1,\ldots, q_n$ $u_{n+1}:\mathbb{R}\to I_{n+1}$

Ini akan memberi Anda urutan terpisah interval nontrivial dan urutan fungsi dengan benar-benar meningkat. Sekarang tentukan oleh . $\langle I_1, I_2, \ldots\rangle$ $\langle u_1, u_2, \ldots\rangle$ $u_n:\mathbb{R}\to I$ $u:\mathbb{Q}\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $u(q_n,r)=u_n(r)$

Anda dapat memverifikasi bahwa mewakili urutan leksikografis pada . $u$ $\mathbb{Q}\times\mathbb{R}$

Peringatan: Keberadaan interval nontrivial terputus-putus yang tak terhingga jumlahnya mungkin tampak sangat aneh, tetapi baik-baik saja.

— Michael Greinecker
sumber

Terima kasih banyak atas jawaban ini. Tapi saya tidak yakin saya benar-benar mendapat ide buktinya.

— Rororo

Idenya, mungkin agak mengejutkan, adalah bahwa seseorang dapat memesan interval kompak nontrivial dengan cara yang persis sama dengan rasional yang dipesan. Ini memberi Anda pemesanan koordinat pertama, angka-angka dalam interval memberi Anda pemesanan koordinat kedua.

— Michael Greinecker

Ketika Anda berasumsi bahwa "ada interval kompak nontrivial terputus-putus I1, ..., Dalam urutan pada baris seperti q1, ..., qn" apakah ini berarti bahwa kami mempertimbangkan interval kompak nontrivial dengan q1 dan semua real yang mungkin "digabungkan" dengan q1 , maka I2 menjadi interval kompak nontrivial dengan semua real yang melekat pada q2? Dan akhirnya ketika mendefinisikan u (q_n, r) = u_n (r) sudah selesai? Tidakkah seharusnya kita mendefinisikan fungsi seperti u = 2 ^ (- i) di mana saya akan menjadi jumlah elemen dalam interval kompak untuk ex. ? terima kasih banyak sekali lagi!

— Rororo

Asumsi pemesanan berarti bahwa jika (sebagai bilangan rasional, bukan dalam urutan inidces), maka untuk semua dan , kita memiliki . Alasan bahwa fungsi dibangun secara induktif, dan tidak dengan cara yang lazim "menghitung elemen yang lebih kecil (dengan cara yang berpotensi berbobot)," adalah bahwa saya tidak tahu bagaimana seseorang dapat menentukan panjang dan posisi interval a apriori.

q_{l} < q_{m}

$q_l < q_m$

r_{l} \in I_{l}

$r_l\in I_l$

r_{m} \in I_{m}

$r_m\in I_m$

r_{l} < r_{m}

$r_l<r_m$

u

$u$

I_{n}

$I_n$

— Michael Greinecker