Mengapa fungsi homotetik memiliki rasio konstan produk marginal sepanjang sinar?

Pemesanan homothetic didefinisikan sebagai

$ x \ succeq y \ Rightarrow \ lambda x \ succeq \ lambda y \ qquad \ forall \ lambda & gt; 0 $

dimana $ x, y \ in \ mathbb {R} ^ n $

Kemudian, setiap fungsi yang dapat dibedakan mewakili pemesanan memiliki properti

$ \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} (\ lambda x) = k \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} (x) $

dengan $ k, \ lambda & gt; 0 $

Bagaimana hasil ini diturunkan?

Saya bisa melihat bagaimana kita dapat memperoleh properti dari nilai fungsi dari homothety, tetapi tidak tahu bagaimana kita bisa mengatakan apa pun tentang turunannya.

microeconomics production-function producer-theory

— Chris tie
sumber

Bisakah Anda menjelaskan pertanyaan Anda? Berapakah $ k $ dan apa yang sebenarnya Anda maksud dengan "produk marginal relatif"?

— denesp

Dengan produk marginal relatif konstan yang saya maksud MRS, pada dasarnya. Saya mengubah "relatif" menjadi "rasio" untuk lebih jelas. Saya menganggap $ k $ sebagai konstanta, tetapi saya tidak yakin. Properti yang dimaksud berasal dari Kamus Ekonomi Palgrave.

— Chris tie

Fungsi homotetik dapat dikarakterisasi sebagai berikut: Membiarkan $ f (\ mathbf x) $ , $ \ mathbf x \ in \ mathbb R ^ n $ menjadi fungsi homogen derajat $ r $ . Membiarkan $ g () $ menjadi fungsi dengan $ g '\ neq 0 $ . Kemudian

$$ G (\ mathbf x) = g [f (\ mathbf x)] $$ bersifat homotik. Sejak $ f (\ mathbf x) $ adalah derajat yang homogen $ r $ kita punya itu

$$ f (\ lambda \ mathbf x) = \ lambda ^ rf (\ mathbf x) $$

Kemudian

$$ G (\ lambda \ mathbf x) = g [\ lambda ^ rf (\ mathbf x)] $$ dan sebagainya

$$ \ frac {\ partial G (\ lambda x)} {\ partial x_i} = g '[f (\ lambda x)] \ cdot \ lambda ^ r \ frac {f (x)} {\ partial x_i} = \ lambda ^ r \ cdot \ frac {g '[f (\ lambda x)]} {g' [f (x)]} \ frac {\ partial G (x)} {\ partial x_i} $$

Jelas, kita juga akan memilikinya

$$ \ frac {\ partial G (\ lambda x)} {\ partial x_j} = g '[f (\ lambda x)] \ cdot \ lambda ^ r \ frac {f (x)} {\ partial x_j} = \ lambda ^ r \ cdot \ frac {g '[f (\ lambda x)]} {g' [f (x)]} \ frac {\ partial G (x)} {\ partial x_j} $$

yang mengarah ke "MRS konstan sepanjang sinar" karakterisasi fungsi homotetik,

$$ \ frac {\ partial G (\ lambda x) / \ partial x_i} {\ partial G (\ lambda x) / \ partial x_j} = \ frac {\ partial G (x) / \ partial x_i} {\ partial G (x) / \ partial x_j} $$

(lihat Simon dan Blume 1994, hlm. 503).

— Alecos Papadopoulos
sumber

Bisakah Anda mencadangkan karakterisasi fungsi homotetis Anda? Sepertinya $ g $ harus benar-benar naik atau turun, tidak hanya konstan seperti abs $ (\ cdot) $.

— denesp

Bisakah Anda juga menjelaskan jika menurut Anda klaim asli itu benar, untuk memastikan kami ada di halaman yang sama.

— denesp

@denesp Simon dan Blume (1994) hlm. 500 mendefinisikan fungsi homotetik memang sebagai transformasi monoton fungsi homogen. Tetapi seperti Chiang (1984) hal. 423-424 mencatat, dari sudut pandang matematika kita hanya membutuhkan turunan non-nol, meskipun dalam ekonomi kita membatasi definisi untuk transformasi monoton (dan biasanya turunan sangat positif $ g $) sehingga terus berguna untuk mewakili fenomena ekonomi.

— Alecos Papadopoulos

Saya kaget dengan $ k $ Anda bisa komentar apa pun. Yang lainnya diambil dengan baik.

— denesp

Saya berpendapat bahwa seharusnya terlihat seperti ini: $$ \ frac {\ partial G (\ lambda x)} {\ partial x_i} = g '[f (\ lambda x)] \ cdot \ lambda ^ r \ frac { f (x)} {\ partial x_i} = \ lambda ^ r \ cdot \ frac {g '[f (\ lambda x)]} {g' [f (x)]} \ frac {\ partial G (x) } {\ partial x_i} $$ Argumen fungsi harus identik untuk mengembalikan aturan rantai. Solusi saat ini menyiratkan bahwa setiap fungsi homotetis adalah homogen, yang tidak demikian.

— Chris tie