Konsep topologis dalam teori ekonomi

PERTANYAAN: Apa aplikasi utama atau sistematis matematika pasca-1960 untuk ekonomi mikro?

Sebagai contoh, pada akhir abad ke-19, Fisher pertama kali menggunakan ide-ide matematika Gibbs untuk membangun teori utilitas modern. Pada abad ke-20, Mas-Colell menggabungkan ide-ide topologi untuk mempelajari keseimbangan umum. Bagaimana dengan akhir abad 20, awal abad ke-21?

Misalnya, pertimbangkan teori grafik terarah, teori ukuran, topologi, teori kategori dan homologi atau kohomologi modern, metode topos, integrasi fungsional, dll.

Catatan 1 : ekonometrik / statistik, tanpa pemodelan, dikecualikan. Satu-satunya matematika modern yang digunakan adalah teori random walk, dan masalah ergodic, diselesaikan melalui analisis kompleks. RW dan EP tidak spesifik untuk ekonomi.

Setiap publikasi ekonomi yang sesuai adalah jawabannya. Ini termasuk juga yang diterbitkan dalam jurnal ekonomi non-ketat, misalnya Jurnal Psikologi Matematika .

Catatan 2 : Ya, saya tahu, jenis pekerjaan ini lebih jarang (jangan dikelirukan dengan ketidakjelasan: beberapa di antaranya sudah diketahui). Itulah yang membuatnya mudah ketinggalan referensi seperti itu ketika diterbitkan. Karena itu pertanyaannya.

Saya sangat curiga bahwa area penting yang muncul untuk aplikasi teori ukuran akan berada di sekitar teknik pemrograman dinamis. Perkiraan pemrograman dinamis (alias "penguatan pembelajaran" dalam literatur ilmu komputer) telah menjadi arah kerja penelitian dalam ~ 10-20 tahun terakhir dari literatur pemrograman dinamis. Ekonomi baru saja mulai mengadopsi beberapa kemajuan ini. Sebagai contoh dari arah literatur DP, lihat Bertsekas edisi 4 terbaru dari serial pemrograman dinamisnya, atau Powell's Approximate DP: Memecahkan Kutukan Dimensi. Para ekonom baru saja mulai mengambil beberapa alat ini, baik secara langsung maupun tidak langsung, dan saya curiga mereka akan memiliki dampak yang berkembang pada literatur selama beberapa tahun ke depan. Beberapa latar belakang analitik untuk konvergensi metode ini adalah sistem topologi dan dinamik.

Sebuah contoh bagus dari kontribusi teoretis untuk jenis literatur dari para ekonom ini adalah Pál dan Stachurski (2013), Iterasi Fungsi Nilai yang Dipasangkan Dengan Kemungkinan Satu Kontraksi (versi ungated di sini ). Membaca dengan teliti kertas itu dan Anda dapat melihat pentingnya pemahaman yang baik tentang teori ukuran. Buku Stachurski, Economic Dynamics sebenarnya adalah eksposisi yang sangat bagus dari pemrograman dinamis dari perspektif ini, membangun dengan kecepatan yang bekerja untuk berbagai tingkatan mahasiswa / profesional pascasarjana (teori ukuran muncul secara formal pada akhirnya saya percaya - saya masih bekerja ke arah wawasan tersebut).

Semoga ini menjawab pertanyaan Anda sampai tingkat tertentu. Saya takut frasa "matematika pasca-1960-an" agak ambigu bagi saya (karena kurangnya pengetahuan saya sendiri tentang sejarah literatur matematika), jadi jika saya benar-benar melewatkan sasaran, permintaan maaf saya!

Ini terlalu lama untuk dikomentari. "Post 1960" tampaknya merupakan bar yang arbitrer dan sangat tinggi untuk bidang terapan, termasuk teori mikro. Sebagian besar topik yang Anda sebutkan tidak akan dianggap matematika kontemporer. Sebagai contoh, teori ukuran dimulai dengan tesis Lebesgue dan berusia lebih dari seabad. Topologi bahkan lebih tua dan dimulai dengan Poincare, yang memperkenalkan kelompok-kelompok homologi. Keduanya diajarkan untuk undergrads hari ini, seperti kalkulus. (Matematika yang digunakan oleh Mas-Colell et al. Di GE adalah analisis, bukan topologi.)

Eksternalitas program penelitian yang menggerakkan matematika modern sejak pertengahan abad ke-20 ke komunitas terapan tidak langsung paling baik. Sudut pandang dan teknik yang dimotivasi oleh, misalnya, geometri non-komutatif, program Langland, dugaan Poincare, dugaan Baum-Connes, dugaan utama kembar (medali Fields telah diberikan pasca 1960 untuk kemajuan dalam masalah ini), dll. --- mungkin tidak akan pernah terlihat di luar matematika. Keuangan matematika, tentu saja, tetap matematika tetapi itu cukup dihapus dari sudut pandang ekonomi.

Sunting Ternyata, menjawab pertanyaan Anda secara langsung, telah ada aplikasi topologi untuk teori pilihan sosial, yang diprakarsai oleh Chichilnisky, et. Al. Berikut ini adalah makalah JET tentang topik tersebut oleh seorang topologi:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Mungkin seseorang dengan keahlian dalam topologi dapat berkomentar lebih lanjut.

Ruang Loeb telah digunakan untuk memodelkan situasi dengan rangkaian agen. Lihat http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf dan bab-bab oleh Sun tentang aplikasi ekonomi dalam buku Nonstandard Analysis for the Working Mathematician .

Teori ukuran banyak digunakan dalam masalah pembagian yang adil (alias "pemotongan kue"). Lihat banyak makalah tentang keadilan dalam jurnal ekonomi .

Untuk contoh tertentu, lihat Tatsuro Ichiishi dan Adam Idzik, "Alokasi barang yang dapat dibagi", JME 1999 .

Selain karya Chichilnisky yang disebutkan oleh Michael, penggunaan topologi lain yang menarik dalam teori pilihan sosial muncul dalam karya Redekop pada teorema Arrow tentang domain ekonomi.

• Redekop, J. (1991). Fungsi kesejahteraan sosial pada domain ekonomi terbatas. Jurnal Teori Ekonomi, 53, 396-427.
• Redekop, J. (1993a). Domain ekonomi yang tidak konsisten panah. Pilihan Sosial dan Kesejahteraan, 10, 107–126.
• Redekop, J. (1993b). Topologi kuesioner tentang beberapa ruang preferensi ekonomi. Jurnal Ekonomi Matematika, 22, 479–494.
• Redekop, J. (1993c). Fungsi kesejahteraan sosial pada domain parametrik. Pilihan Sosial dan Kesejahteraan, 10, 127–148.
• Redekop, J. (1995). Panah teorema di lingkungan ekonomi. Dalam WA Barnett, H. Moulin, M. Salles, & NJ Schofield (Eds.), Pilihan sosial, kesejahteraan, dan etika (hal. 163–185). Cambridge: Cambridge University Press.
• Redekop, J. (1996). Panah teorema dalam barang campuran, stokastik, dan lingkungan ekonomi yang dinamis. Pilihan dan Kesejahteraan Sosial, 13, 95-112.

Teorema ketidakmungkinan Arrow pada awalnya terbukti untuk serangkaian alternatif abstrak, memungkinkan setiap profil preferensi yang mungkin atas serangkaian alternatif ini. Pertanyaan yang diajukan Redekop (dan lainnya) adalah: apakah ada persamaan dengan teorema Arrow ketika alternatifnya adalah kumpulan barang, dan agen memiliki preferensi "klasik" atas barang-barang tersebut (monoton, cembung, kontinu, egois, ...).

Lebih tepatnya, pertanyaannya adalah apakah akan ada fungsi kesejahteraan sosial yang memuaskan tiga aksioma Arrovia (Kemandirian Alternatif yang Tidak Relevan, Pareto Lemah dan Non-Kediktatoran) pada domain Ekonomi ini (lihat Le Breton, Michel, dan John A. Weymark. " Teori Pilihan Sosial Bab Tujuh Belas-Arrovia tentang Domain Ekonomi. "Buku Pegangan Pilihan Sosial dan Kesejahteraan 2 (2011): 191-299 untuk ulasan yang bagus, yang menjadi dasar jawaban ini).

Secara kasar, karya Redekop menunjukkan bahwa, untuk beberapa masalah ekonomi itu, jika suatu domain preferensi mengakui fungsi kesejahteraan sosial orang Arro, domain itu harus "kecil" dalam pengertian topologis. Misalnya, dalam Redekop (1991), ia memperkenalkan topologi yang cerdik pada set preferensi yang ia juluki topologi kuesioner , dan menunjukkan bahwa, dalam ekonomi barang publik, jika domain preferensi mengakui fungsi kesejahteraan sosial Arrovia, maka domain tersebut harus menjadi tempat padat menurut topologi ini (yaitu penutupan domain tidak mengandung set terbuka).