Respons terbaik terhadap distribusi tawaran yang lebih tinggi secara stokastik

Di Teori Lelang , Krishna menulis bahwa:

bidder yang menghadapi distribusi penawaran yang secara stokastik lebih tinggi - di rasa dominasi tingkat bahaya terbalik - akan menawar lebih tinggi

(Ini mengikuti bukti proposisi 4.4 di bagian 'Kelemahan Menuju Agresi'.)

Seharusnya, ini 'mudah dilihat' - namun, saya kesulitan melihatnya! Saya akan berterima kasih jika seseorang dapat menjelaskan mengapa ini benar.

Upaya saya (gagal) sejauh ini:

Jika saya menawar $ b $ ketika penilaian saya $ v $ , lalu (di bawah netralitas risiko) utilitas yang saya harapkan adalah

$$ (v - b) F (b) $$

dimana $ F (b) $ adalah fungsi distribusi kumulatif semua tawaran selain milikku (dan dengan demikian kemungkinan aku memenangkan lelang).

Memaksimalkan utilitas yang saya harapkan sehubungan dengan $ b $ , kami mendapatkan kondisi pesanan pertama

$$ (v - b) f (b) - F (b) = 0 $$

Yang menyiratkan itu

$$ b = v - \ frac {F (b)} {f (b)} $$

Distribusi A $ G $ secara stokastik lebih tinggi dari distribusi $ F $ dalam arti dominasi tingkat bahaya terbalik ketika, untuk setiap $ b $

$$ \ frac {g (b)} {G (b)} & gt; \ frac {f (b)} {F (b)} $$

Sekarang, jika $ f (b) / F (b) $ dan $ g (b) / G (b) $ tidak bergantung pada $ b $ , sudah jelas dari kondisi urutan pertama bahwa saya akan menawar lebih tinggi ketika menghadapi distribusi penawaran yang secara stokastik lebih tinggi. Namun, tidak jelas bagi saya apa yang terjadi dalam kasus umum di mana 'tingkat bahaya' tergantung $ b $ .

Banyak terima kasih sebelumnya!

Pertanyaan bonus: Ketika tawaran saya meningkat, akankah distribusi penawaran saya yang baru 'secara stokastik mendominasi' distribusi lama saya (dalam arti tingkat bahaya terbalik)?

auctions probability

— afreelunch
sumber

Saya tidak yakin apakah kondisi pesanan pertama Anda sudah benar. Keuntungan yang diharapkan adalah $ (v - b) F (\ beta ^ {- 1} (x)) $, di mana $ b = \ beta (x) $. Anda selanjutnya dapat mempertimbangkan $ \ beta ^ {- 1} = \ phi $, oleh karena itu laba yang diharapkan dapat ditulis ulang sebagai $ (v - b) F (\ phi (b)) $.

— superhulk

Distribusi Anda F adalah distribusi yang tertinggi penilaian (terpisah dari milikku). Namun, distribusi F saya adalah distribusi yang tertinggi tawaran (terpisah dari milikku). Oleh karena itu, kedua ekspresi kami benar - kami hanya menggunakan notasi yang berbeda.

— afreelunch

Apakah kalimat terakhir Anda benar? Apakah Anda bermaksud mengatakan kapan ini tergantung atau tidak pada $ v $ daripada kapan fungsi-fungsi ini bergantung pada (b)?

— 123

Tidak, maksud saya $ b $. Jika tingkat bahaya tidak bergantung pada $ b $, maka kami memiliki formula eksplisit untuk tawaran optimal. Namun, jika tingkat bahaya bergantung pada $ b $, kami hanya memiliki persamaan yang mendefinisikan $ b $ secara implisit, yang membuat segalanya lebih sulit.

— afreelunch

Berikut ini sketsa jawaban.

Seperti disebutkan dalam pertanyaan, optimal $ b $ harus memuaskan

$$ b = v - \ frac {F (b)} {f (b)} $$

Mari kita mendefinisikan fungsinya $ h (b) = v - F (b) / f (b) $ . Masalah kita adalah menemukan titik tetap dari fungsi $ h (b) $ , mis $ b $ seperti yang

$$ b = h (b) $$

Apa yang bisa kita katakan tentang $ h (b) $ ? Dengan asumsi ada tawaran optimal yang unik, itu melintasi garis 45 derajat tepat sekali. Selain itu, dengan asumsi bahwa tawaran tidak boleh negatif, mis. $ F (b) = 0 $ , karena itu $ h (0) = v $ . Jadi, dengan asumsi itu $ v & gt; 0 $ , fungsinya $ h (b) $ dimulai di atas garis 45 derajat.

Sekarang, ketika tawaran lawan 'secara stokastik lebih tinggi', fungsinya $ h (b) $ bergerak ke atas dalam arti bahwa fungsi 'baru' terletak di mana-mana di atas $ h (b) $ . Dengan demikian tampaknya cukup jelas bahwa titik tetap yang unik harus meningkat, meskipun harus diakui saya tidak memiliki bukti konklusif tentang fakta ini.

Saya juga tidak yakin tentang pertanyaan bonus (apakah tawaran baru saya tampaknya secara stokastik lebih tinggi dalam arti tingkat bahaya sebaliknya)

— afreelunch
sumber