Bantu memahami pengganda Lagrangian?

10

Saya mencoba memahami pengganda Lagrangian dan menggunakan contoh masalah yang saya temukan online.

Penyiapan Masalah:

Pertimbangkan konsumen dengan fungsi utilitas $u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$ , di mana $\alpha \in (0,1)$ . Misalkan konsumen ini memiliki kekayaan $w$ dan harga $p =(p_x,p_y)$ . Hanya itu yang kami terima.

Pekerjaan yang Saya Lakukan:

Saya kemudian mendefinisikan persamaan batasan anggaran: $w = xp_x + yp_y$ . Saya juga kemudian mendefinisikan Lagrangian terkait untuk masalah maksimalisasi konsumen: $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$ .

Pertanyaan saya:

Apa persamaan ini yang bisa saya lakukan? Meskipun saya mengaturnya diberikan rumus pada halaman Wikipedia tentang pengganda Lagrangian, saya benar-benar tidak tahu apa tujuan dari persamaan ini. Seperti saya tidak mengerti bagaimana persamaan yang diberikan memungkinkan saya untuk menentukan cara memaksimalkan fungsi utilitas saya.

Catatan: Saya akrab dengan kalkulus multivariabel dan Lagrangians ( $L = T -V$ ) dalam fisika, tetapi metode ini baru bagi saya.

utility

— Stan Shunpike
sumber

2

Anda dapat mempertimbangkan untuk menanyakan hal ini di math.stackexchange.com jika Anda tidak mendapatkan jawaban yang bagus di sini! Pertanyaan bagus.

— 123

8

Fungsi optimalisasi terbatas memaksimalkan atau meminimalkan subjek objektif untuk satu kendala atau lebih. Seperti yang saya pahami, pendekatan pengali Lagrangian mengubah masalah optimisasi terbatas (I) menjadi masalah optimisasi tidak terbatas (II) di mana nilai kontrol optimal ke masalah II juga nilai kontrol optimal untuk masalah I. Selain itu, fungsi tujuan dalam masalah I dan II mengambil nilai optimal yang sama. Triknya adalah cara cerdas untuk menempatkan kendala ke dalam fungsi tujuan secara langsung daripada menggunakannya secara terpisah.

Saya setuju dengan presentasi Anda tentang masalah maksimalisasi konsumen: . $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Sekarang kita ambil turunan parsial sehubungan dengan x an y, tetapkan mereka sama dengan nol, lalu selesaikan untuk x * dan y *.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

(eqn 1) $\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$

Pulihkan persamaan batasan anggaran dengan mengambil turunan parsial . $\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

(eqn 2) $0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$

Kami sekarang memiliki dua persamaan dan dua tidak diketahui (x, y) dan dapat menyelesaikan untuk x * dan y *.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

(hasil 1) $\rightarrow \alpha = xp_x/w$

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$

$x^* = \alpha w /p_x$ $y^* = (1-\alpha) w /p_y$

— BKay
sumber

λ

$\lambda$

Λ (x, y, λ)

$\Lambda(x,y,\lambda)$

λ

$\lambda$

\frac{\partial Λ}{\partial λ}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda}$

λ

$\lambda$

\partial Λ / \partial λ

$\partial \Lambda / \partial \lambda$

λ

$\lambda$

Itu membuatnya jelas. Terima kasih telah mengklarifikasi. Saya telah bekerja melalui contoh di sini: math.stackexchange.com/questions/674/… tapi entah bagaimana sebenarnya memiliki nomor membingungkan saya. Melihat variabel lebih masuk akal.

— Stan Shunpike

\frac{y p_{y}}{w} = \frac{x p_{x}}{w (α - 1)}

$\frac{y p_y}{w}=\frac{x p_x}{w(\alpha - 1)}$

5

$w$

$x$ $y$
$w$ $\lambda$
$x$ $y$ $\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$ $\lambda$ $\lambda$
$\lambda$ $w$ $\lambda$
$\lambda$

$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

— Nils
sumber

5

Menggunakan pengganda Lgrange untuk mengoptimalkan fungsi di bawah batasan adalah teknik yang berguna , meskipun pada akhirnya, ini memberikan wawasan dan informasi tambahan. Menempel pada kasus kendala kesetaraan, masalahnya

max_{(x, y)} u (x, y) = x^{α} y^{1 - α}, α \in (0, 1)

$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$

s.t. w = p_{x} x + p_{y} y

$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$

tentu saja dapat ditransformasikan dalam masalah yang tidak dibatasi oleh substitusi langsung:

max_{y} u (x, y) = {(\frac{w - y p_{y}}{p_{x}})}^{α} y^{1 - α}, α \in (0, 1)

$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$

Tetapi secara umum, substitusi langsung dapat menghasilkan ekspresi rumit (terutama dalam masalah dinamis), di mana kesalahan aljabar akan mudah dilakukan. Jadi metode Lagrange memiliki keunggulan di sini. Selain itu, pengali Lagrange memiliki interpretasi ekonomi yang bermakna. Dalam pendekatan ini, kami mendefinisikan variabel baru, katakan , dan kami membentuk "fungsi Lagrangean" $\lambda$

Λ (x, y, λ) = x^{α} y^{1 - α} + λ (w - p_{x} x - p_{y} y)

$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$

Pertama, perhatikan bahwa adalah setara dengan , karena bagian ditambahkan ke kanan adalah identik nol. Sekarang kami memaksimalkan Lagrangean sehubungan dengan dua variabel dan kami mendapatkan kondisi urutan pertama $\Lambda(x,y,\lambda)$ $u(x,y)$

\frac{\partial u}{\partial x} = λ p_{x}

$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$

\frac{\partial u}{\partial y} = λ p_{y}

$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$

Menyamakan melalui , ini menyediakan dengan cepat hubungan mendasar $\lambda$

\frac{\partial u / \partial x}{\partial u / \partial y} = \frac{p_{x}}{p_{y}}

$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$

Hubungan optimal ini, bersama dengan batasan anggaran, menyediakan sistem dua persamaan dalam dua yang tidak diketahui, dan dengan demikian memberikan solusi sebagai fungsi dari parameter eksogen (parameter utilitas , harga dan kekayaan yang diberikan ). $(x^*, y^*)$ $\alpha$ $(p_x,p_y)$ $w$

Untuk menentukan nilai , kalikan masing-masing kondisi orde pertama seluruhnya dengan dan masing-masing lalu jumlahkan secara berdampingan untuk mendapatkan $\lambda$ $x$ $y$

\frac{\partial u}{\partial x} x + \frac{\partial u}{\partial y} y = λ (p_{x} x + p_{y} y) = λ w

$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$

Dengan utilitas homogen tingkat satu, seperti halnya dengan fungsi Cobb-Douglas, kami memilikinya

\frac{\partial u}{\partial x} x + \frac{\partial u}{\partial y} y = u (x, y)

$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$

dan jadi pada bundel optimal yang kita miliki

u (x^{*}, y^{*}) = λ^{*} w

$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$

Dan inilah bagaimana pengganda Lagrange memperoleh interpretasi yang bermakna secara ekonomi: nilainya adalah utilitas marginal kekayaan . Sekarang, dalam konteks utilitas ordinal , utilitas marginal tidak benar-benar bermakna (lihat juga diskusi di sini ). Tetapi prosedur di atas dapat diterapkan misalnya untuk masalah minimisasi biaya, di mana pengali Lagrange mencerminkan peningkatan total biaya dengan peningkatan marginal dalam jumlah yang diproduksi, dan dengan demikian itu adalah Biaya Marginal.

— Alecos Papadopoulos
sumber

Ini adalah penjelasan yang bagus. Pertanyaan: pada halaman Wikipedia tentang pengganda Lagrangian, ia menyatakan Namun, tidak semua titik stasioner menghasilkan solusi dari masalah aslinya. Dengan demikian, metode pengganda Lagrange menghasilkan kondisi yang diperlukan untuk optimalitas dalam masalah kendala. apakah ini berarti istilah "maksimisasi" salah? Karena saya pikir perlu tidak berarti cukup tetapi sebaliknya.

— Stan Shunpike

@StanShunpike Memang, mereka hanya perlu. Mereka menjadi cukup ketika fungsi objektif dan kendala memiliki sifat tertentu. Misalnya, dengan batasan linier dan fungsi objektif kuasi-cekung, mereka juga cukup.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Cara lain menulis adalah fungsi utilitas tidak langsung , benar? Jadi, jika saya tidak salah, ini adalah aplikasi dari Teorema Amplop, bukan?

u (x^{*}, y^{*})

$u(x^*,y^*)$

v

$v$

— Mathemanic

2

Saya sarankan Anda untuk mengerjakan jawaban paragraf demi paragraf ini, memastikan Anda mendapatkan masing-masing dari mereka, atau Anda akan menjadi bingung. Anda bahkan mungkin ingin mengabaikannya nanti jika itu tidak perlu untuk tujuan Anda.

Gagasan utama yang didengar adalah bahwa jika titik tersebut adalah kondisi semua ekstrem, maka tidak perlu titik stasioner Lagrangian, yaitu titik tersebut, bahwa semua turunan parsial Lagrangian adalah nol di dalamnya. Untuk mengatasi masalah Anda harus mengidentifikasi semua titik stasioner dan daripada menemukan maksimum di antara mereka.

Namun secara umum resep ini bukan entitas yang dapat diandalkan, karena maksimum mungkin tidak ada. Biasanya Anda dapat memverifikasi keberadaannya dengan teorema Weierstrass. Ini membutuhkan fiksi yang kontinyu dan himpunan yang ringkas seperti ini di sini. Secara umum itu berarti bahwa Anda perlu memeriksa setiap titik batas dari himpunan yang dipermasalahkan, poin dan poin . $x= 0$ $y = 0$

Dalam hal ini persamaan Anda tidak cukup untuk solusi, karena set yang Anda pertimbangkan didefinisikan oleh ketidaksetaraan daripada persamaan. Anda dapat menunjukkan, bahwa fungsinya monoton dalam dan , sehingga maksimum berada di batas kanan atas. Utilitas juga adalah 0 jika atau , sementara ada poin yang layak di mana ia benar-benar positif, sehingga maksimum tidak dapat dicapai di batas kiri atau bawah. Maka pendekatan ini sepenuhnya dibenarkan. $x$ $y$ $x = 0$ $y=0$

Di masa depan Anda harus menyadari masalah itu jika jenis seperti itu harus dipecahkan secara umum dengan menerapkan Kuhn-Tucker Theorem dan saya merekomendasikan Anda untuk berkenalan dengannya setelah Anda memahami materi ini.

— Nikita Toropov
sumber

2

Seperti yang telah dicatat oleh orang lain, inti dari metode Lagrange adalah untuk mengubah masalah constrained-extremum menjadi bentuk sedemikian rupa sehingga FOC masalah free-extremum dapat diterapkan. Di pengaturan Anda, Anda mengubah masalah yang tidak dibatasi ( ) menjadi: $\max u(x,y)$

Λ = x^{α} y^{1 - α} + λ (w - (x p_{x} + y p_{y}))

$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$

Jika Anda berasumsi bahwa batasan akan dipenuhi, yaitu, bahwa , maka istilah terakhir akan hilang secara terpisah dari nilai , sehingga akan identik dengan . Caranya adalah memperlakukan sebagai variabel pilihan tambahan, sehingga memaksimalkan . Karena syarat pesanan pertama untuk adalah $xp_x+yp_y=w$ $\lambda$ $\Lambda$ $u$ $\lambda$ $\Lambda(x,y,\lambda)$ $\lambda$

\frac{\partial Z}{\partial λ} = w - (x p_{x} + y p_{y}) = 0

$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$ kita dapat yakin akan kepuasan dari kendala dan hilangnya .

λ

$\lambda$

Adapun interpretasi dari (multiplier Lagrange), dalam hal ekonomi yang luas itu adalah harga bayangan dari kendala th. Dalam pengaturan Anda, di mana hanya ada batasan anggaran, harga bayangan adalah biaya peluang dari kendala anggaran, yaitu, utilitas marjinal dari uang anggaran (pendapatan). $\lambda_i$ $i$

Cara lain untuk melihatnya adalah mengukur sensitivitas terhadap perubahan pada batasan (anggaran). Bahkan di dapat dibuktikan itu $\lambda$ $\Lambda$

\frac{d Λ^{*}}{d w} = λ^{*}

$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$

Perhatikan bahwa untuk interpretasi ini dari masuk akal Anda harus selalu menyatakan kendala sebagai , bukan sebagai (seperti yang Anda tulis pada pengaturan Anda). $\lambda^*$ $w-(xp_x+yp_y)$ $(xp_x+yp_y)-w$

— han-tyumi
sumber