Latar Belakang

Hari ini di kelas ekonomi makro saya, guru saya mengajar kami tiga konsep.

Yang pertama sangat sederhana: konsumsi adalah fungsi linear dari pendapatan nasional . Secara matematis,$c$$y$

Kami akan menyebut sebagai kecenderungan marginal untuk dikonsumsi, dan menyebutnya sesuai MPC. MPC juga dapat dianggap sebagai sebagian kecil dari pendapatan yang dihabiskan daripada disimpan. Jadi MPC akan menjadi beberapa angka kurang atau sama dengan satu tetapi lebih besar dari atau sama dengan nol ( 0 ≤ M ≤ 1 ).$M$$0 \leq M \leq 1$

Konsep kedua yang kami pelajari juga cukup sederhana. Sebagai pendapatan meningkat, MPC berkurang.$y$

Konsep ketiga sedikit lebih rumit. Biarkan Orang 1 memiliki dolar. Biarkan MPC menjadi konstan secara universal dan sama dengan $5$ . Sekarang, karena MPC=$\frac{3}{4}$ ,Orang 1menghabiskan$= \frac{3}{4}$ dari penghasilannya padaOrang 2. JadiOrang 2memiliki penghasilan$\frac{3}{4}$dolar. Orang 2sekarang akan menghabiskan$\frac{3}{4} * 5 = 3.75$ dari penghasilannya padaOrang 3. Dan seterusnya hingga tak terbatas. Aku langsung mengenali ini sebagai jumlah dari deret geometri:5* ∞ Σ n=0($\frac{3}{4}$ Ini masuk akal, tetapi hanya ketika mengabaikan konsep kedua (MPC berkurang denganmeningkatnyay). Ketika saya bertanya tentang hal itu, guru saya mengatakan bahwa karena kalkulus bukanlah prasyarat untuk kelas, kami tidak akan melangkah lebih jauh; kami hanya akan membiarkan MPC menjadi konstanta untuk menyederhanakan hal-hal dalam kelas makroekonomi tingkat pengantar. Jadi saya pikir tentang masalah untuk sementara hari ini dan menyadari bahwa jika kitamelakukanaccount untuk MPC menurun karenaymeningkat, atau dalam hal ini, MPCmeningkatsebagainmeningkat, maka kita bisa menulis total uang yang dihabiskan sebagai seri terbatas dari jenis produk tanpa batas (??). Model saya dapat ditemukan di bawah.

Pertanyaan Utama

Saya baru saja menyelesaikan Kalkulus III musim gugur yang lalu jadi saya tidak pernah secara formal mempelajari apa pun tentang produk tak terbatas. Saya bahkan tidak yakin apakah ini adalah produk tanpa batas karena banyak dari mereka yang terbatas. Ngomong-ngomong, bisakah seri tak terbatas berikut yang saya buat dipecahkan untuk konvergensi? Jika demikian, bagaimana saya bisa mencari tahu angka yang menyatu juga? Penjelasan panjang akan dihargai. Perlu diingat saya memiliki pengetahuan matematika yang sangat kasar di luar Kalkulus III.

Mungkin akan lebih baik jika saya tahu bagaimana menyelesaikan produk tanpa batas terlebih dahulu.

$\frac{n + 2}{\sqrt{n^2 + 5n + 7}}$$\frac{3}{4}$$1$$n$$\infty$

Apakah semua ini masuk akal secara ekonomi atau saya kehilangan konsep utama?

Saya tidak tahu bahwa distribusi yang Anda klaim salah tetapi menurut saya ada beberapa fitur yang sangat tidak diinginkan. Untuk satu, hampir seluruh populasi memiliki> 0,99 MPC, yang tampaknya sangat tinggi untuk distribusi yang Anda pikir terpusat sekitar 3/4. Untuk yang lain, jika Anda berpikir bahwa guncangan pendapatan dalam model Anda bersifat sementara daripada permanen, pembacaan literatur saya adalah bahwa ini terlalu besar. Tapi itu semua terpisah dari pertanyaan Anda tentang memperkirakan hal-hal yang tergantung pada distribusi dan pemesanan MPC yang sebenarnya.

Memesan dari MPC rendah ke tinggi tampaknya mengambil sikap yang kuat tentang bagaimana perdagangan bekerja dalam perekonomian. Sekali lagi, saya tidak tahu itu salah, tetapi itu tidak menurut saya benar. Jika kita berpikir bahwa MPC disebabkan oleh pendapatan maka ini sama dengan mengatakan orang terkaya mendapatkan uang terlebih dahulu, membelanjakannya di toko orang terkaya kedua dan menyimpan sisanya, dia menghabiskan pengeluaran pria 1 di orang terkaya ketiga dan begitu seterusnya. Ekonomi menganggap saya kurang rapi daripada itu sehingga pemesanan acak lebih masuk akal bagi saya tanpa adanya bukti tentang di mana orang MPC tinggi dan rendah membelanjakan uang mereka.

Saya mencoba main-main dengan simulasi (dengan Python) untuk melihat seberapa baik kita dapat memperkirakan rantai konsumsi acak ini. Secara umum, bereksperimen beberapa nilai parameter dengan seragam, beta, dan distribusi Anda di atas, distribusi tidak terlalu penting dalam menentukan efek total konsumsi. Menggunakan cara geometris atau aritmatika dari distribusi MPC memberikan perkiraan yang bagus tentang efek total konsumsi aktual dari rantai konsumsi acak. * Di sisi lain, jika Anda memesan rumah tangga dengan MPC dari tinggi ke rendah atau rendah ke tinggi, ini membuat sangat besar perbedaan dalam total efek konsumsi yang dihasilkan.

* - Yang mengatakan, saya secara eksplisit mengesampingkan distribusi MPC di mana MPC dapat menjadi nol (atau kurang). Jika itu terjadi, rerata geometris akan menjadi nol dan perkiraan yang dihasilkan menggunakan rerata geometris cukup buruk.

Kode:

# Python 3.x code for stack exchange question
# http://economics.stackexchange.com/questions/3123/how-can-i-solve-for-total-money-spent-if-i-use-a-non-constant-mpc
import numpy as np

# Parameters
households = 5001
sims = 10000
initial_shock = 5

# Alternative marginal propensity to consume populations
MPC_vec_lin = np.linspace(0.01, 0.2, households)
MPC_vec_beta = np.random.beta(2, 5, size=households)

# THis is the function Gragas asks for
nvec = np.arange(0,households)
MPC_vec_gragas = (nvec + 2) / np.sqrt(nvec**2 + 5*nvec + 7)

MPC_vec = MPC_vec_gragas

# Calculate geometeric and arithmetic mean MPC from the population
approx_geo_mean = np.mean(np.log(MPC_vec))
approx_long_run_eqiv_MPC = np.exp(approx_geo_mean)
avg_MPC = np.mean(MPC_vec)

# Assuming that all households had the same MPC (@ geo / arithmetic level), what is the total effect?
approx_total_shock_with_geo = initial_shock / (1 - approx_long_run_eqiv_MPC)
approx_total_shock_with_mean = initial_shock / (1 - avg_MPC)

print('Initial shock size:', initial_shock)
print('Approximate total effect with geometric mean:', approx_total_shock_with_geo)
print('Approximate total effect with arithmetic mean:', approx_total_shock_with_mean)

# Simulating many possible orderings, what is the total effect for each ordering?
total_shock_vec = np.zeros(sims)
for i, item in enumerate(total_shock_vec):
    MPC_vec_random_order = np.random.choice(MPC_vec, replace=False, size=households)
    random_products = np.cumproduct(MPC_vec_random_order)
    total_shock = np.sum(initial_shock * random_products) + initial_shock
    total_shock_vec[i] = total_shock
# Compare resulting average and std. of total effect from simulations
print('Average total effect from simulations:',  np.mean(total_shock_vec))
print('Std Dev of total effect from simulations:',  np.std(total_shock_vec))

# Conclusion, mean and geomean do a very nice job of approximating the resulting total effect without knowing the
# general specific ordering. However, the worst and best total effect ordering (low to high and high to low) are
# quite different.

MPC_vec_low_to_high = MPC_vec.copy()
MPC_vec_low_to_high.sort()

MPC_vec_high_to_low = MPC_vec_low_to_high.copy()
MPC_vec_high_to_low = MPC_vec_high_to_low[::-1]

product_low_to_high = np.cumproduct(MPC_vec_low_to_high)
total_shock_low_to_high = np.sum(initial_shock * product_low_to_high) + initial_shock

product_high_to_low = np.cumproduct(MPC_vec_high_to_low)
total_shock_high_to_low = np.sum(initial_shock * product_high_to_low) + initial_shock

print('Maximum effect ordering effect size:', total_shock_high_to_low)
print('Minimum effect ordering effect size:', total_shock_low_to_high)

Hasil:

Initial shock size: 5
Approximate total effect with geometric mean: 6023.35708426
Approximate total effect with arithmetic mean: 6154.37897874
Average total effect from simulations: 5999.77721767
Std Dev of total effect from simulations: 642.715838738
Maximum effect ordering effect size: 16675.8496051
Minimum effect ordering effect size: 777.157515589