Kapan seorang penerima harus mengacak seluruh tindakan dalam game pensinyalan?

Misalkan ada permainan sinyal dengan ruang yang terbatas pesan , tindakan terbatas ruang , dan terbatas ruang tipe . Lebih sederhana lagi, semua jenis pengirim memiliki preferensi yang identik (penerima hanya lebih suka tindakan yang berbeda dalam menanggapi jenis yang berbeda). Bisakah penerima melakukan yang lebih baik dengan mengacak seluruh respons? Ketika ada keseimbangan di mana penerima hanya mengambil tindakan murni? $M$ $A$ $T$

Ubiquitous meringkas pertanyaan saya dengan baik, "Apakah pernah terjadi bahwa keseimbangan dengan pembayaran penerima tertinggi tentu melibatkan strategi campuran?"

Mari kita pergi dengan keseimbangan berurutan. Jika Anda ingin beberapa notasi untuk memulai.

$\sigma_{t}(m)$ adalah probabilitas bahwa mengirimkan . $t\in T$ $m\in M$

$\sigma_R^m(a)$ adalah probabilitas bahwa penerima merespons dengan memberikan keyakinan penerima setelah mengamati . $m$ $a\in A.$ $\mu^m \in \Delta T$ $m$

Ekuilibrium berurutan membutuhkan memberikan respons optimal yang diberikan , optimal diberikan dan diberikan Bayesian . Ini benar-benar definisi dari sekuensial yang lemah, tetapi tidak ada perbedaan dalam permainan pensinyalan. $\sigma_t$ $\sigma_R$ $\sigma_R$ $\mu$ $\mu$ $\sigma$

Intuisi saya mengatakan tidak ketika ada keseimbangan di mana penerima hanya memainkan tindakan murni, tetapi saya selalu mengerikan dengan hal-hal semacam ini. Mungkin kita juga harus menetapkan bahwa itu bukan permainan zero-sum, tapi saya hanya mengatakan itu karena saya ingat pemain menjadi lebih baik dengan kemampuan untuk mengacak dalam permainan itu. Mungkin ini catatan kaki di koran?

Pertimbangkan permainan di bawah ini di mana preferensi pengirim tidak identik. Saya minta maaf untuk kualitas rendah. Ada tiga jenis pengirim, masing-masing sama-sama mungkin. Kita dapat menciptakan apa yang saya yakini sebagai penerima (pemain 2) keseimbangan optimal hanya jika mereka mengacak setelah menerima pesan 1. Kemudian tipe 1 dan 3 akan memainkan , menciptakan keseimbangan terpisah. Jika penerima menggunakan strategi murni sebagai respons terhadap , maka tipe 1 atau 2 akan menyimpang dan memperburuk penerima. $m_2$ $m_1$

$\sigma_R^{m_1}(a)=.5=\sigma_R^{m_1}(r)=.5$

masukkan deskripsi gambar di sini

game-theory

— Pburg
sumber

Apakah tindakan yang dilakukan oleh penerima sebagai fungsi dari tipe berdampak pada pesan yang dikirim oleh pengirim atau apakah ini independen?

— Martin Van der Linden

Saya tidak yakin apa yang Anda maksud. Ada satu jenis penerima. Strategi mereka memetakan pesan menjadi distribusi atas tindakan. Mereka hanya berdampak pada pesan sejauh pengirim memainkan respon terbaik.

— Pburg

Misalkan ada keseimbangan di mana penerima mengacak set aksi . Ini berarti, menurut definisi, ia harus acuh tak acuh di antara dua distribusi probabilitas apa pun atas - termasuk di mana semua bobot diletakkan pada satu tindakan tunggal (strategi murni). Jadi tidak, strategi campuran tidak pernah bisa lebih baik daripada strategi murni terbaik. Atau apakah saya salah mengerti pertanyaannya?

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— mana

@Ubiquitous Itu masuk akal bagi saya, tapi saya bertanya-tanya apakah mungkin ada beberapa kasus patologis yang aneh. Sebagai contoh, saya hanya bisa menemukan teorema, "Untuk pilihan umum hadiah dalam bentuk permainan terbatas hingga dengan penarikan sempurna, hadiah konstan untuk setiap komponen yang terhubung dari sekuensial ekuilibria." Peringatan generik membuat saya bertanya-tanya.

— Pburg

@Pburg Ya, saya mengerti. Tampaknya kami memiliki pertanyaan yang berbeda dalam pikiran. Saya berpikir "apakah pernah terjadi bahwa respons terbaik penerima yang unik terhadap strategi pengirim yang diberikan adalah strategi campuran?", Sedangkan tampaknya pertanyaan Anda sebenarnya "apakah pernah terjadi bahwa keseimbangan dengan pembayaran penerima tertinggi selalu melibatkan strategi campuran? "

— mana

Jawaban:

Mungkin saya punya contoh tandingan!

Biarkan ada tiga pesan, dan , dan tiga jenis pengirim mana , dan . Mengirim menghasilkan hasil untuk pengirim, kita dapat menganggapnya sebagai keluar dari permainan. $m_1, m_2,$ $m_3$ $t_1,t_2,t_3$ $\Pr(t=t_3)=\frac{1}{2}-\epsilon$ $\Pr(t=t_2)=\frac{1}{4}$ $\Pr(t=t_1)=\frac{1}{4}+\epsilon$ $m_3$ $0$

Set tanggapan penerima terhadap pesan adalah $m=m_1,m_2$ $\{a,r\}$

$u_t(a,m_1)=1 > u_t(a,m_2)=\beta>u_t(r,\cdot)=0$

$u_R(t_1,m_1,a)=u_R(t_2,m_2,a)=2$ , , $u_R(t_3,m_i,a)=1$

$u_R(t_2,m_1,a)=u_R(t_2,m_1,a)=0$ , , $u_R(t_3,m_i,r)=2$

$u_R(t_1,m_i,r)=u_R(t_2,m_i,r)=1$ .

Kemudian dalam kesetimbangan, semua pengirim harus mendapatkan utilitas yang sama, benar? Jika tidak, satu akan meniru strategi yang lain.

Jadi, satu-satunya keseimbangan strategi murni adalah untuk semua pengirim untuk memilih . Dalam keseimbangan penyatuan pada atau , respons terbaik adalah memilih . Tidak ada strategi murni yang memisahkan keseimbangan kecuali jika dan mengirim , dan penerima merespons dengan . Maka acuh tak acuh di antara semua pesan, karena ia pasti akan bertemu dengan hasil . Semua ini memberikan hasil penerima $m_3$ $m_1$ $m_2$ $r$ $t_1$ $t_2$ $m_2$ $r$ $t_3$ $0$ $\frac{3}{2}-\epsilon$

Kemudian pertimbangkan kasus di mana danSekarang, pengirim tidak peduli antara mengirim dua pesan itu. Kemudian, mari dan untuk . Maka strategi penerima adalah rasional. $\sigma_R^{m_1}(a)=\beta$ $\sigma_R^{m_2}(a)=1.$ $\sigma_{t_3}(m_1)=\frac{\epsilon+1/4}{-\epsilon+1/2}=1-\sigma_{t_3}(m_1)$ $\sigma_{t_i}(m_i)=1$ $i=1,2$

Utilitas yang diharapkan penerima dari diberi atau adalah 1,5. Utilitas yang diharapkan dari sedikit di atas 1,5, mengingat . Jadi imbalan yang diharapkan ex ante berada di atas , lebih baik daripada keseimbangan murni yang dijelaskan di atas. Selanjutnya, pemisahan ini hanya dipertahankan dengan pencampuran. Setiap strategi murni lain yang diambil oleh penerima akan menginduksi penyatuan pengirim, yang berarti satu-satunya keseimbangan strategi murni adalah ketika penerima memilih . $m_1$ $a$ $r$ $m_2$ $a$ $\frac{3}{2}-\epsilon$ $r$

Saya harus memiliki s pada gambar di bawah untuk hadiah pengirim sisi kiri untuk . Saya pikir adalah bahan utama. $\beta$ $a$ $\beta<1$

masukkan deskripsi gambar di sini

— Pburg
sumber

Saya pikir ini tidak dapat terjadi dengan risiko pengirim menolak, risiko penerima netral, dan cukup kaya. $A$

Sebagai contoh, dan untuk tetap berpegang pada model pensinyalan kanonik, anggaplah bahwa adalah garis nyata positif dan utilitas pengirim meningkat dalam saat sementara penerima memiliki utilitas linier menurun dalam . $A$ $u$ $a$ $a$

(Harus diakui, ini hanya sebagian jawaban karena kerangka kerjanya kurang umum daripada yang ada di pertanyaan Anda, jadi mungkin tidak memuaskan Anda. Saya masih memberikan argumen jika Anda setuju dengan asumsi-asumsi ini)

Untuk memperoleh kontradiksi, anggaplah bahwa pada kesetimbangan dan untuk beberapa . Membiarkan $\sigma^m_R(a') > 0$ $\sigma^m_R(a'') > 0$ $a' \neq a'' \in A$

a^{‴} \equiv \frac{σ_{R}^{m} (a^{'})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} a^{'} + \frac{σ_{R}^{m} (a^{″})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} a^{″} .

$a''' \equiv \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a' + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a''.$

Dengan penghindaran risiko

u [a^{‴}] > \frac{σ_{R}^{m} (a^{'})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} u (a^{'}) + \frac{σ_{R}^{m} (a^{″})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} u (a^{″}) .

$u[ a''' ] > \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a') + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a'').$

[σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})] u (a^{‴}) > σ_{R}^{m} (a^{'}) u (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″}) u (a^{″}) .

$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a''' ) > \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$

Di bawah beberapa asumsi kesinambungan, harus ada juga

a^{⁗} < a^{‴}

$a '''' < a'''$

seperti yang

[σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})] u (a^{⁗}) = σ_{R}^{m} (a^{'}) u (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″}) u (a^{″}) .

$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a'''' ) = \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$

Jadi pertimbangkan dibuat dengan cara berikut $\sigma^m_R{'}$

$\sigma^m_R{'}(a') = \sigma^m_R{'}(a'') = 0$ ,
$\sigma^m_R{'}(a'''') = \sigma^m_R(a'''') + [\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')]$
Untuk semua , $\tilde{a}$ $\sigma^m_R{'}(\tilde{a}) = \sigma^m_R(\tilde{a})$

Penerima akan lebih memilih lebih dari jika tidak mengubah sinyal yang dikirim oleh pengirim, karena melibatkan kompensasi yang diharapkan lebih rendah. Tetapi dengan konstruksi, pengirim tidak peduli antara dan , sehingga mereka harus mengirim sinyal yang sama seperti pada . Dengan demikian tidak bisa menjadi keseimbangan yang menunjukkan bahwa kita tidak dapat memiliki dua tindakan berbeda yang dimainkan dengan probabilitas positif pada suatu keseimbangan. $\sigma^m_R{'}$ $\sigma^m_R$ $\sigma^m_R{'}$ $\sigma^m_R$ $\sigma^m_R$ $\sigma^m_R$

— Martin Van der Linden
sumber

Dalam model ini, bukankah penerima selalu memilih ?

a = 0

$a=0$

— Pburg

Saya tidak melakukan hal ini. Jika penerima selalu choses tidak peduli sinyal, dia tidak insentif "tinggi" jenis untuk mengungkapkan jenis mereka melalui sinyal "lebih tinggi". Ini mungkin optimal dalam keseimbangan penyatuan, tetapi tidak dalam keseimbangan terpisah. Lihat misalnya bagian 13.C dari Mas-Colell, Whinston dan Green, walaupun pengaturannya sedikit berbeda dari milik Anda (mis. Ada dua perusahaan yang bersaing untuk pekerja dari jenis yang berbeda)

a

$a$

— Martin Van der Linden

Apa artinya "penerima memiliki utilitas linier menurun dalam" artinya?

— Pburg

Maaf itu tidak terlalu jelas. Dalam model pensinyalan Spence yang ada dalam benak saya, tindakan yang dilakukan penerima adalah membayar upah kepada pengirim. Utilitas penerima tergantung pada jenis pengirim, dikurangi upah yang dibayarkan. Pada dasarnya, penerima itu netral terhadap risiko: ia hanya peduli pada upah yang diharapkan yang harus ia bayar, dan jenis yang diharapkan yang akan ia gunakan.

— Martin Van der Linden

Oke, saya kira saya telah melihat ini sebagai kerugian kuadratik,Terima kasih atas sarannya, meskipun saya mencari sesuatu yang sedikit lebih umum tetapi dengan tindakan yang terpisah.

- (t - w)^{2} .

$-(t-w)^2.$

— Pburg