Apa contoh dari fungsi utilitas di mana satu barang lebih rendah?

Katakanlah konsumen memiliki cembung standar, preferensi monotonik daripada Apel dan Pisang.

(Pembaruan: Saya ingin preferensi menjadi 'standar' mungkin. Jadi idealnya kami memiliki MRS yang berkurang di mana-mana dan kami juga memiliki "lebih banyak lebih baik" di mana-mana.)

Katakanlah preferensinya dapat diwakili oleh beberapa fungsi utilitas . Dia harus memenuhi beberapa batasan anggaran , di mana adalah penghasilannya. $u(A,B)$ $p_AA+p_BB=y$ $y$

Lalu apa contoh dari fungsi utilitas di mana , setidaknya dalam beberapa keadaan? $\frac{\partial A}{\partial y}<0$

Ini menurut saya pertanyaan yang sangat sederhana tetapi singkat Googling saya tidak dapat menemukan apa pun.

utility preferences

— Kenny LJ
sumber

Jawaban:

Barang tidak boleh kalah dengan seluruh rentang pendapatan.

Makalah Fungsi Utilitas Nyaman dengan Perilaku Giffen menunjukkan bahwa untuk seseorang dengan utilitas bentuk:

U (x, y) = α_{1} \ln (x - γ_{x}) - α_{2} \ln (γ_{y} - y)

$U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y)$

X lebih rendah jika dan positif, , dan dalam domain dan . $\gamma_x$ $\gamma_y$ $0<\alpha_1<\alpha_2$ $x>\gamma_x$ $0\leq y<\gamma_y$

Pembaruan: Jika anggarannya adalah , jadi untuk adalah sticky ~~inferior yang~~ bagus . Menyadari ini sebenarnya elastisitas pendapatan nol bukan yang negatif sehingga tidak kalah.

U (x, v) = x + \ln (v)

$U(x,v) = x + \ln(v)$

w

$w$

v^{*} = min (P_{x} / P_{V}, w)

$v^* = \min(P_x / P_V, w)$

w > P_{x} / P_{V}

$w>P_x / P_V$

v

$v$

Saya menemukan bentuk fungsional funky lain untuk fungsi utilitas di mana satu barang lebih rendah tetapi juga memiliki utilitas marginal yang meningkat dari barang lain: Barang Inferior dan Novel Indifference Map

U = A_{1} \ln (x) + y^{2} / 2

$U = A_1 \ln(x) + y^2 /2$ Fungsi itu memberikan peta ketidakpedulian yang gila.

Contoh klasik bagi saya barang inferior adalah hal-hal seperti makanan murah, di mana makanan lezat yang jauh lebih mahal memadatkannya karena ada kendala tambahan (kapasitas perut) yang akhirnya mengikat. Seharusnya memungkinkan untuk membuat contoh di mana inferioritas merupakan konsekuensi dari kendala kedua ini alih-alih fungsi utilitas.

Perbarui dengan contoh lain:

Makalah The Case of a “Giffen Good” (Spiegel (2014)) menunjukkan bahwa untuk seseorang dengan kegunaan bentuk: mana ,, dan adalah nilai konstan dan positif.

U = {\begin{matrix} α X - β X^{2} / 2 + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & 0 \leq X \leq α / β \\ α^{2} / 2 β + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & X > α / β \end{matrix}}

$U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \\ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix}$

α, β, λ,

$\alpha, \beta, \lambda,$

δ

$\delta$

Tetapi seperti dalam fungsi di atas, fungsi utilitas ini telah meningkatkan MU dalam satu barang (Y). Ini tampaknya umum di pengaturan Giffen:

Dalam kasus fungsi utilitas aditif di mana utilitas marginal dari semua barang berkurang dengan konsumsi barang, yaitu, utilitas marginal pendapatan berkurang, semua barang normal dan net-substitusi satu sama lain. Namun, jika untuk beberapa barang (dalam kasus kami, bagus Y) utilitas marjinal adalah positif dan meningkat dan untuk barang lainnya, utilitas marjinal berkurang (dalam kasus kami, baik X), maka utilitas pendapatan marjinal meningkat. Barang yang memperlihatkan peningkatan utilitas marjinal adalah barang mewah, sedangkan barang yang memperlihatkan utilitas marjinal yang semakin berkurang adalah barang yang lebih rendah. Karakteristik ini dibuktikan oleh Liebhafsky (1969) dan Silberberg (1972) dan wen: digunakan untuk mengembangkan fungsi utilitas di atas yang menggambarkan kasus barang Giffen.

— BKay
sumber

Satu masalah dengan fungsi ini adalah bahwa ini bukan fungsi utilitas standar. Seperti yang ditulis oleh penulis sendiri, "dalam kasus Y yang baik, utilitas marjinal meningkat karena lebih banyak dikonsumsi".

— Kenny LJ

Jika Anda memiliki persyaratan formulir fungsional tambahan, saya sarankan menambahkannya ke pertanyaan Anda untuk meningkatkan kualitas jawaban yang Anda dapatkan.

— BKay

Saya lakukan: Saya menyatakan bahwa preferensi harus cembung.

— Kenny LJ

Jadi kamu lakukan, maaf.

— BKay

Mari kita lanjutkan diskusi ini dalam obrolan .

— BKay

Mari kita lihat apa yang disiratkan inferioritas dari satu barang dalam dua kasus yang baik. Lihatlah "Struktur Struktur Ekonomi" Silberberg (masih merupakan salah satu buku teks ekonomi mikro sarjana terbaik yang pernah ditulis), ch. 10 untuk lebih jelasnya.

Maksimalisasi utilitas dijelaskan oleh (bintang menunjukkan tingkat optimal)

U_{A} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{A} \equiv 0

$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$

U_{B} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{B} \equiv 0

$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$

y - p_{A} A^{*} - p_{B} B^{*} \equiv 0

$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$

dan perhatikan penggunaan simbol identitas alih-alih persamaan sederhana - hubungan ini selalu berlaku secara optimal. Kemudian kita dapat membedakan kedua sisi dan mempertahankan identitas. Lakukan itu dan selesaikan sistem persamaan untuk menentukan berbagai turunan, dan Anda akan menemukan bahwa jika baik lebih rendah, , maka kita harus memiliki bahwa $3 \times 3$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

p_{A} U_{B B}^{*} > p_{B} U_{A B}^{*}

$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$

Jika kami bersedia menerima , maka lintas parsial bisa nol, dan kami dapat memiliki fungsi utilitas seperti yang disebutkan dalam jawaban @BKay. $U_{BB} >0$ $U_{AB}$

Tetapi jika kita ingin mempertahankan , maka itu harus menjadi kasus bahwa , turunan lintas parsial dari fungsi utilitas juga harus benar-benar negatif (dan tidak-nol). Ini pada gilirannya menyiratkan preferensi yang tidak dapat dipisahkan , secara positif atau multiplikasi. $U_{BB} <0$ $U_{AB}$

Mungkin Anda dapat mempertimbangkan sesuatu seperti

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

dan keempat parameter positif. Misalnya, untuk nilai-nilai, peta indiferen $a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$

masukkan deskripsi gambar di sini

Dugaan saya adalah bahwa untuk Anda mungkin dapat memiliki semua pengaturan standar bersama dengan inferioritas (dan untuk nilai harga yang sesuai dan parameter lainnya tentu saja). Temukan kondisi urutan pertama, gantikan dalam hal dalam batasan anggaran, dan gunakan teorema fungsi implisit untuk menentukan kondisi pada parameter yang diperlukan untuk . Dan jangan lupa untuk memeriksa apakah kondisi ini kompatibel dengan kondisi orde kedua untuk maksimalisasi utilitas. $0<h<1$ $A$ $B$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

KOMENTAR 7 Oktober 2015
Beberapa komentar dalam jawaban ini tampak bagi saya untuk mengacaukan masalah representasi preferensi dan pelestarian peringkat preferensi di bawah transformasi monoton, dengan properti "inferioritas" barang. Preferensi dan perwakilannya tidak ada hubungannya dengan adanya kendala anggaran. Di sisi lain, "rendah diri" memiliki segalanya untuk melakukan dengan adanya kendala anggaran, dan bagaimana hal itu mempengaruhi pilihan ( bukan preferensi) karena perubahan.

Dan transfomasi monotonik tidak meninggalkan segalanya "tidak berubah". Pertimbangkan fungsi utilitas , dan transformasi monotonnya . Orang dapat dengan mudah melihat bahwa ketika , kita memilikinya . Dengan kata lain, transformasi monoton dapat mempertahankan peringkat bundel, tetapi ini tidak berarti bahwa mereka memberikan hubungan yang sama antara barang. Dan seperti yang saya tulis di atas, properti "inferioritas" tergantung pada tanda dan besaran relatif turunan parsial kedua dari fungsi utilitas yang digunakan, tanda dan besaran relatif yang bergantung pada bentuk fungsional aktual yang digunakan. $V = A^k+ B^h$ $U =\ln(A^k+ B^h)$ $\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$ $\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$

— Alecos Papadopoulos
sumber

Bukankah memberikan preferensi yang sama dengan pemesanan lebih dari bundel seperti ? Itu hanya preferensi seperti Cobb-Douglas setelah Anda mengambil log yang seharusnya tidak menunjukkan inferioritas, melainkan bagian anggaran yang konstan.

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

U (A, B) = a A^{k} + b B^{h}

$U(A,B) = aA^k + bB^h$

— BKay

@ Fungsi utilitas Cobb-Douglas BKay mewakili preferensi yang dapat dipisahkan. Seperti yang saya tulis dalam jawaban saya, perlu (walaupun tidak cukup) untuk memiliki non-keterpisahan, agar dapat memiliki inferioritas. Dan bentuk fungsional spesifik ini, tidak seperti bentuk Cobb-Douglas, memiliki sifat tidak dapat dipisahkan ini. Tanpa logaritma, itu tidak terjadi. Saya serahkan kepada siapa pun yang tertarik untuk menjelajahinya lebih jauh.

— Alecos Papadopoulos

Hanya untuk menunjukkan, seperti yang telah dilakukan @Bkay, adalah transformasi monotonik dari . Jadi keduanya mewakili preferensi yang sama.

\ln [a A^{k} + b B^{h}]

$\ln [aA^k +bB^h]$

a A^{k} + b B^{h}

$aA^k +bB^h$

— Kenny LJ

@KenyLJ Yang penting untuk pertanyaan Anda, yaitu tentang bentuk-bentuk fungsional yang dapat mencerminkan inferioritas, adalah apakah bentuk fungsional dicirikan oleh keterpisahan atau tidak, (jika seseorang ingin mempertahankan penurunan turunan kedua dari fungsi utilitas).

— Alecos Papadopoulos

Alecos, itu mengejutkan. Apa yang Anda katakan adalah bahwa seseorang dengan preferensi yang persis sama (seperti mereka, seperti transformasi monotonik) dapat memilih bundel konsumsi yang berbeda, tergantung pada bagaimana Anda akan menulis fungsi utilitasnya. Tolong ...

Sangat sulit untuk mendapatkan model yang dapat ditelusur dengan sifat yang masuk akal / realistis. Kasus kebaikan umum diberikan oleh Sørensen dalam Heijman et al. (2012) , hlm. 100-3. Contoh lain, untuk dua barang dan dengan domain terbatas, diberikan oleh Haagsma (2012) . Memeriksa referensi di dalamnya adalah cara termudah untuk mendapatkan koleksi besar fungsi utilitas untuk barang inferior - meskipun tampaknya ada lebih banyak literatur tentang barang Giffen daripada yang lebih rendah. $n$

Mengenai pembahasan sebelumnya tentang kecembungan preferensi, fungsi utilitas yang menghasilkan fungsi permintaan yang berbeda pada transformasi monotonik positif bukan quasiconcave dan, oleh karena itu, preferensi tidak cembung, mengingat quasiconcavity dipertahankan dengan komposisi nondecreasing. Bahwa fungsi yang disarankan Alecos Papadopoulos bukanlah Cobb-Douglas harus mudah dilihat.
Namun demikian, jika quasiconcave, maka akan menghasilkan fungsi permintaan yang sama (dan efek harga dan pendapatan yang sama) seperti mana adalah positif transformasi monotonik, terlepas dari apakah terpisah atau lemah. Peringatan: hati-hati untuk efek pada domain. $u(x_1,x_2)$ $v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2)$ $f$ $u$

— dugo
sumber