Bagaimana saya bisa mendapatkan fungsi produksi Leontief dan Cobb-Douglas dari fungsi CES?

Dalam sebagian besar buku teks Ekonomi Mikro disebutkan bahwa fungsi produksi Konstan Elastisitas Pengganti (CES),

Q = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{1}{ρ}}

$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

(di mana elastisitas substitusi adalah ), memiliki batas fungsi produksi Leontief dan Cobb-Douglas. Secara khusus, $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

lim_{ρ \to \infty} Q = γ min {K, L}

$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$

dan

lim_{ρ \to 0} Q = γ K^{a} L^{1 - a}

$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$

Tetapi mereka tidak pernah memberikan bukti matematika untuk hasil ini.

Bisakah seseorang memberikan bukti-bukti ini?

Selain itu, fungsi CES di atas menggabungkan konstan-kembali-ke-skala (homogenitas derajat satu), karena eksponen luar menjadi $-1/\rho$ . Jika ya, katakan $-k/\rho$ , maka tingkat homogenitasnya adalah $k$ .

Bagaimana hasil pembatas terpengaruh jika $k\neq 1$ ?

— Huseyin
sumber

Hal ini tampaknya menjadi sebuah pertanyaan PR tanpa usaha sebelum pemecahan itu, lihat: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/...

— FooBar

Ini tentu saja merupakan topik pembicaraan, tetapi pertanyaan berkualitas rendah . Sekalipun itu bukan pekerjaan rumah Huseyin, kami berharap dari Anda untuk a) Berhati-hatilah dengan notasi Anda (Anda menggunakan

ρ

$\rho$ dan

p

$p$ ) dan b) Berkontribusi beberapa pemikiran dan cara Anda telah mencoba menyelesaikan masalah. Kami di sini untuk membantu orang yang membantu diri mereka sendiri , dan tidak menawarkan layanan profesional pro bono.

— Alecos Papadopoulos

Matematika melakukan berbagai hal secara berbeda hingga hampir seluruh jaringan stackexchange. Hanya di math.se Anda dapat mengajukan masalah untuk diselesaikan orang lain tanpa menunjukkan usaha. Harap simpan pertanyaan semacam itu untuk math.se, tidak di sini.

— EnergyNumbers

Ketika Anda mengatakan "Saya perlu membuktikan" tanpa indikasi mengapa Anda perlu membuktikannya, orang akan menganggap ini adalah pekerjaan rumah.

— Steven Landsburg

@Huseyin Sekarang pertanyaan telah dibuka kembali dan jawaban telah disediakan, tidakkah Anda akan memposting jawaban Anda untuk batas Cobb-Douglas?

— Alecos Papadopoulos

Jawaban:

Bukti yang akan saya sajikan didasarkan pada teknik yang relevan dengan fakta bahwa fungsi produksi CES memiliki bentuk rata-rata tertimbang secara umum .
Ini digunakan dalam kertas asli di mana fungsi CES diperkenalkan, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS, & Solow, RM (1961). Substitusi modal-tenaga kerja dan efisiensi ekonomi. Tinjauan Ekonomi dan Statistik, 225-250.
Para penulis di sana merujuk pembaca mereka ke buku Hardy, GH, Littlewood, JE, & Pólya, G. (1952). Ketidaksetaraan , bab . $2$

Kami menganggap kasus umum

Q_{k} = γ [Sebuah K^{- ρ} + (1 - Sebuah) {L.}^{- ρ}]^{- \frac{k}{ρ}}, k > 0

$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$

\Rightarrow γ^{- 1} Q_{k} = \frac{1}{[Sebuah (1 / K^{ρ}) + (1 - Sebuah) (1 / {L.}^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}}}

$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$

1) Batasi ketika $\rho \rightarrow \infty$ Karena kami tertarik pada batas ketika kita dapat mengabaikan interval , dan memperlakukan sebagai benar-benar positif.
$\rho\rightarrow \infty$ $\rho \leq0$ $\rho$

Tanpa kehilangan umum, anggap . Kami juga memiliki . Kemudian kami memverifikasi bahwa ketidaksetaraan berikut berlaku: $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ $K, L >0$

(1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq γ Q_{k}^{- 1} \leq (1 / L^{k})

$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$

\begin{matrix} (1) & ⟹ (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq [a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}} \leq (1 / L^{k}) \end{matrix}

$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$

dengan menaikkan seluruh ke kekuatan untuk mendapatkan $\rho/k$

\begin{matrix} (2) & (1 - Sebuah) (1 / {L.}^{ρ}) \leq Sebuah (1 / K^{ρ}) + (1 - Sebuah) (1 / {L.}^{ρ}) \leq (1 / {L.}^{ρ}) \end{matrix}

$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$ yang memang memegang, jelas, dengan asumsi. Kemudian kembali ke elemen pertama dan

(1)

$(1)$

lim_{ρ \to \infty} (1 - Sebuah)^{k / ρ} (1 / {L.}^{k}) = (1 / {L.}^{k})

$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$

yang mengapit istilah tengah dalam hingga , jadi $(1)$ $(1/L^{k})$

\begin{matrix} (3) & lim_{ρ \to \infty} Q_{k} = \frac{γ}{1 / {L.}^{k}} = γ {L.}^{k} = γ [min {K, L}]^{k} \end{matrix}

$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$

Jadi untuk kita mendapatkan fungsi produksi Leontief dasar. $k=1$

2) Batasi ketika $\rho \rightarrow 0$
Tulis fungsi menggunakan eksponensial sebagai

\begin{matrix} (4) & γ^{- 1} Q_{k} = \exp {- \frac{k}{ρ} \cdot \ln [a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1}]} \end{matrix}

$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$

Pertimbangkan ekspansi Maclaurin orde pertama (ekspansi Taylor berpusat pada nol) dari istilah di dalam logaritma, sehubungan dengan : $\rho$

a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1} = a (K^{0})^{- 1} + (1 - a) (L^{0})^{- 1} - a (K^{0})^{- 2} K^{0} ρ \ln K - (1 - a) (L^{0})^{- 2} L^{0} ρ \ln L + O (ρ^{2})

$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$

= 1 - ρ Sebuah di K - ρ (1 - Sebuah) di L. + HAI (ρ^{2}) = 1 + ρ [di K^{- Sebuah} {L.}^{- (1 - Sebuah)}] + HAI (ρ^{2})

$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$

Masukkan ini kembali ke dan singkirkan eksponensial luar, $(4)$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + ρ [di K^{- Sebuah} {L.}^{- (1 - Sebuah)}] + HAI (ρ^{2}))}^{- k / ρ}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$

Dalam kasus itu buram, tentukan dan tulis ulang $r\equiv 1/\rho$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + \frac{[di K^{- Sebuah} {L.}^{- (1 - Sebuah)}]}{r} + HAI (r^{- 2}))}^{- k r}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$

Sekarang memang terlihat seperti ekspresi yang batasnya tak terbatas akan memberi kita sesuatu yang eksponensial:

lim_{ρ \to 0} γ^{- 1} Q_{k} = lim_{r \to \infty} γ^{- 1} Q_{k} = {(\exp {di K^{- Sebuah} {L.}^{- (1 - Sebuah)}})}^{- k}

$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$

\Rightarrow lim_{ρ \to 0} Q_{k} = γ {(K^{Sebuah} {L.}^{1 - Sebuah})}^{k}

$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$

Tingkat homogenitas dari fungsi dipertahankan, dan jika kita memperoleh fungsi Cobb-Douglas. $k$ $k=1$

Itu hasil terakhir ini yang membuat panah dan Co untuk memanggil "distribusi" parameter dari fungsi CES. $a$

— Alecos Papadopoulos
sumber

Metode reguler untuk mendapatkan Cobb-Douglas dan Leotief adalah aturan L'Hôpital .

Metode lain juga harus digunakan. Pengaturan akan kembali dan Dengan Total turunan melalui diferensial kita akan memiliki Dengan beberapa manipulasi, persamaan utama kami akan diperoleh. $\gamma=1$ $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

Q^{- ρ} = [Sebuah K^{- ρ} + (1 - Sebuah) {L.}^{- ρ}]

$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$

- ρ Q^{- ρ - 1} d Q = - Sebuah ρ K^{- ρ - 1} d K - (1 - Sebuah) ρ {L.}^{- ρ - 1} d L.

$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$

d Q = Sebuah {(\frac{Q}{K})}^{1 + ρ} d K + (1 - Sebuah) {(\frac{Q}{L.})}^{1 + ρ} d L.

$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$

Fungsi Linier : $\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Fungsi Cobb-Douglas : Mengambil Integral dari kedua sisi akan menghasilkan

lim_{ρ \to 0} d Q \Rightarrow \frac{1}{Q} d Q = Sebuah (\frac{1}{K}) d K + (1 - Sebuah) (\frac{1}{L.}) d L.

$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$

\int \frac{1}{Q} d Q = Sebuah \int (\frac{1}{K}) d K + (1 - Sebuah) \int (\frac{1}{L.}) d L.

$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$

Q = K^{Sebuah} {L.}^{(1 - Sebuah)} e^{C} = SEBUAH K^{Sebuah} {L.}^{(1 - Sebuah)}

$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$

Fungsi Leontief : $\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$

— Huseyin
sumber

(+1) Saya suka terutama bagaimana fungsi Cobb-Douglas diperoleh.

— Alecos Papadopoulos

Terima kasih @AlecosPapadopoulos. tapi saya tidak tahu mengapa beberapa orang membuat tidak suka posting ini? Saya pikir jenis pertanyaan ini dapat memberikan badai otak setidaknya bagi saya.

— Huseyin

Sebenarnya, Huseyin, mereka benar: Anda seharusnya memasukkan setidaknya sebagian dari jawaban Anda dalam pertanyaan Anda : "Inilah cara saya melakukan sesuatu, apakah ada cara lain?"

— Alecos Papadopoulos

Apakah mengambil diferensial dan mengintegrasikan "setara" dengan mengambil batas? Secara umum, dapatkah kita mengambil diferensial dan berintegrasi untuk menemukan batasan? Atau ini aplikasi khusus?

— PGupta