Ekstensi Nash equilibria ke game dengan strategi tanpa batas

Dalam buku teks Jehle dan Reny (yang harus saya tambahkan saya belum banyak membaca di luar beberapa bagian yang menarik), sebuah teorema yang menyatakan bahwa selalu ada keseimbangan (campuran) Nash dalam permainan bentuk strategis terbatas terbukti. Buku ini mengasumsikan bahwa semua pemain memiliki jumlah aksi yang sama, tetapi tidak sulit untuk membayangkan bagaimana ini dapat diperluas ke kasus di mana ini tidak benar.

Namun, yang saya minati adalah apakah ada beberapa ekstensi ini untuk game, terutama yang ada pilihan tak terbatas. Misalnya, jelas tidak ada keseimbangan dalam permainan di mana pemain menang dengan memilih angka tertinggi, tetapi jika kita memiliki, misalnya, permainan yang sama, tetapi di mana jumlahnya harus berada dalam interval $[0, 100]$ (atau interval apa pun yang berisi batas atas), fungsi respons terbaik "menyatu". Demikian pula, saya juga menduga bahwa perlu ada fungsi biaya dan permintaan "berperilaku baik" dalam model persaingan untuk mendapatkan hasil "baik".

Karena itu, saya punya dua pertanyaan:

Apakah ada pengaturan yang terdefinisi dengan baik di mana sebuah game dengan pilihan strategi tanpa batas akan memiliki keseimbangan Nash?
Apa bacaan yang relevan untuk ini?

game-theory reference-request

Jawaban:

Ya, ada pengaturan seperti itu. Hasilnya adalah itu

Jika ruang strategi masing-masing pemain adalah

cembung

padat

dan jika imbalannya terus menerus maka ada setidaknya satu ekuilibrium Nash (mungkin dalam strategi campuran).

Ini berlaku bahkan ketika serangkaian tindakan yang mungkin tak terhingga tak terhingga. Jika seseorang mengasumsikan bahwa imbalannya adalah quasiconcave maka korespondensi respons terbaik akan menjadi cembung bahkan ketika kita membatasi perhatian pada strategi murni sehingga kita kemudian dijamin memiliki setidaknya satu keseimbangan dalam strategi murni dalam permainan semacam itu.

Saya percaya referensi asli di sini adalah

IL Glicksberg. " Generalisasi lebih lanjut dari teorema titik tetap Kakutani, dengan aplikasi pada titik-titik ekuilibrium Nash ." Prosiding Masyarakat Matematika Amerika , 3 (1): 170–174, 1952.

Perawatan dalam makalah Glicksberg, tampaknya tidak mudah diakses. Referensi awal yang baik lebih cenderung menjadi bagian 1.3 dari buku Fudenberg & Tirole "Game Theory" .

— Di mana-mana
sumber

Apakah "tertutup dan terikat" harus menyiratkan "cembung dan padat"? Saya bisa membayangkan daerah tertutup dan terbatas di, katakanlah,

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ itu tidak akan cembung.

Tidak, pernyataan tertutup dan terikat mengacu pada kekompakan: definisi dari himpunan kompak adalah definisi yang tertutup dan terikat.

— mana

Benar, maaf, saya salah membaca penempatan "dan".

Bahkan, makalah yang dikutip Glicksberg beroperasi secara eksplisit dalam konteks di mana karakterisasi kekompakan tidak benar --- dalam ruang vektor normed, ditutup dan dibatasi dalam norma hanya menyiratkan kekompakan * lemah.

— Michael

@densep Dalam permainan sen yang cocok, tindakan yang tersedia terpisah dan oleh karena itu permainan memiliki ruang strategi non-cembung sehingga kondisi pertama dalam pernyataan di atas gagal.

— mana

Sementara kekompakan dan konveksitas masih diperlukan, referensi berikut ini membahas tentang keberadaan dalam permainan ruang vektor dengan jenis diskontinuitas tertentu.

Reny, P. (1999) "Tentang adanya strategi murni dan campuran, Nash equilibria dalam permainan diskontinyu", Econometrica 67, 1029-1056

— adamski
sumber