Kapan seseorang dapat dengan aman berbicara tentang penurunan utilitas marjinal?

9

Satu hal yang sering saya dengar adalah pembicaraan tentang penurunan utilitas marjinal — gagasannya adalah bahwa unit tambahan barang menjadi semakin tidak menarik semakin banyak unit yang sudah dimiliki oleh barang bagus itu.

Namun, ini selalu membuat saya sedikit tidak nyaman karena tata cara utilitas. Jika kita mengambil kasus sepele dari dunia di mana hanya ada satu barang dengan utilitas memuaskan (mengurangi utilitas marjinal) maka jelas mungkin untuk membangun peningkatan fungsi sedemikian rupa sehingga linier dalam . Selain itu, karena fungsi utilitas tidak berubah dengan transformasi monoton, adalah fungsi utilitas yang mewakili preferensi yang sama dengan (tetapi sekarang memiliki utilitas marginal konstan). Dengan demikian, di dunia dengan satu kebaikan tampaknya tidak pernah masuk akal untuk berbicara tentang berkurangnya utilitas marginal. $u(x)$ $u'(x),\ u''(x)<0$ $f$ $(f\circ u)$ $x$ $(f\circ u)$ $u$

Pertanyaan saya adalah ini: pertimbangkan pasar dengan barang $L>1$ . Apakah ada kondisi formal di mana kita dapat dengan aman berbicara tentang penurunan utilitas marginal? Artinya, apakah ada kelas preferensi sehingga setiap representasi utilitas yang valid, $u(\mathbf{x})$ , memiliki $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ untuk beberapa $i$ ?

Atau, apakah ada beberapa bukti sederhana bahwa, untuk $L>1$ , keberadaan representasi utilitas dengan $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ untuk beberapa $i$ tentu menyiratkan bahwa semua representasi utilitas memiliki $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ ?

— Di mana-mana
sumber

Dittmer (2005) membahas hal ini secara rinci. Pada tingkat pengantar, kami mengajarkan siswa bahwa ada sesuatu yang disebut "utilitas marginal menurun" (DMU), yang mensyaratkan bahwa utilitas adalah konsep kardinal. Kemudian pada tingkat menengah dan pascasarjana, utilitas tiba-tiba menjadi konsep ordinal di mana tidak ada yang namanya DMU. Dan ketika pergi dari tingkat intro ke tingkat menengah, ada ketidakkonsistenan yang sangat besar. Ketidakkonsistenan ini biasanya tidak diperhatikan oleh sebagian besar siswa dan karenanya tidak dijelaskan oleh guru.

— Kenny LJ

7

Konsep "utilitas marjinal" (dan karena itu menurun seperti itu) hanya memiliki makna dalam konteks utilitas kardinal .

Asumsikan kita memiliki indeks utilitas ordinal , pada satu barang, dan tiga jumlah barang ini, , dengan . Preferensi berperilaku baik dan memenuhi ketentuan keteraturan patokan, jadi $u()$ $q_1<q_2<q_3$ $q_2-q_1 = q_3-q_2$

u (q_{1}) < u (q_{2}) < u (q_{3})

$u(q_1)< u(q_2) < u(q_3)$

Ini adalah utilitas ordinal . Hanya peringkat yang berarti, bukan jarak. Jadi jarak dan tidak memiliki interpretasi perilaku / ekonomi . Jika tidak, rasionya juga tidak $u(q_2) - u(q_1)$ $u(q_3) - u(q_2)$

\frac{u (q_{2}) - u (q_{1})}{q_{2} - q_{1}}, \frac{u (q_{3}) - u (q_{2})}{q_{3} - q_{2}}

$\frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},\;\; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2}$

Tetapi batas-batas rasio ini sebagai penyebut menjadi nol akan menjadi definisi turunan dari fungsi . Jadi turunan tanpa interpretasi ekonomi / perilaku, dan dengan demikian membandingkan dua contoh fungsi turunan tidak akan menghasilkan konten yang bermakna. $u()$

Tentu saja ini tidak berarti bahwa turunan dari tidak ada sebagai konsep matematika. Mereka bisa ada, jika memenuhi kondisi yang diperlukan untuk dapat dibedakan. Jadi seseorang dapat mengajukan pertanyaan matematika murni "di bawah kondisi mana fungsi yang mewakili utilitas ordinal memiliki turunan kedua yang benar-benar negatif " (atau Hessian definitif negatif untuk kasus multivarian), mencoba untuk tidak menafsirkannya sebagai "mengurangi utilitas marginal" dengan konten ekonomi / perilaku , tetapi hanya sebagai properti matematika yang mungkin memainkan beberapa peran dalam model yang dia periksa. $u()$ $u()$

Dalam kasus seperti itu, kita tahu bahwa:
1) Jika preferensi cembung, indeks utilitas adalah fungsi kuasi-cekung
2) Jika preferensi ketat cembung, indeks utilitas ketat kuasi-cekung

Tetapi quasi-concavity adalah jenis properti yang berbeda dari concavity: quasi-concavity adalah properti "ordinal" dalam arti bahwa ia dipertahankan di bawah peningkatan transformasi fungsi.

Di sisi lain, concavity adalah properti "kardinal", dalam arti bahwa itu tidak harus dipertahankan di bawah transformasi yang meningkat.
Pertimbangkan apa ini berarti: asumsikan bahwa kita menemukan karakterisasi preferensi sehingga mereka dapat diwakili oleh sebuah indeks utilitas yang cekung sebagai fungsi. Kemudian kita dapat menemukan dan mengimplementasikan beberapa peningkatan transformasi indeks utilitas ini, yang akan menghilangkan properti concavity.

— Alecos Papadopoulos
sumber

4

Fakta bahwa Anda bertanya tentang "keselamatan" menyiratkan bahwa Anda percaya bahwa beberapa hasil dalam bahaya. Jawaban ini dapat ditingkatkan jika Anda dapat menentukan hasil yang mungkin ada dalam pikiran Anda. Kalau tidak, ambil contoh teorema kesejahteraan pertama dan kedua. Mereka tidak bergantung pada penurunan utilitas marjinal.

Jika Anda khawatir tentang hasil tentang preferensi daripada ketidakpastian (ide tentang penghindaran risiko, dll.) Maka ingatlah bahwa meskipun representasi fungsi utilitas standar preferensi tanpa ketidakpastian adalah unik hingga transformasi monotonik positif, representasi fungsi utilitas Von Neumann-Morgenstern preferensi atas ketidakpastian adalah unik hanya hingga transformasi affine positif .

Sunting: Catatan Tambahan.

Definisi fungsi utilitas diberikan sebagai berikut (dari Advanced Microeconomic Theory oleh Jehle dan Reny, 2011): masukkan deskripsi gambar di sini

— jmbejara
sumber