Representasi bentuk strategis dari game formulir yang luas

Dalil. Setiap permainan bentuk terbatas hingga dikaitkan dengan representasi bentuk strategis yang unik.

Saya pikir proposisi ini benar. Tetapi bagaimana kita membuktikannya dengan keras?

Saya mengandalkan definisi dari Bab 2 Buku Pegangan Game Theory, Volume 1, oleh Sergiu Hart.

Jika saya mengerti Anda dengan benar, proposisi dapat ditulis ulang sebagai

Dalil . Sebab, setiap bentuk permainan terbatas hingga $ \ Gamma ^ E $, ada satu  representasi bentuk strategis $ \ Gamma ^ N = [I ^ N, \ {S ^ N_i \}, \ {u ^ N_i (\ cdot) \}] $ (hingga penamaan ulang agen) sehingga

1. $ I ^ N = I ^ E $,

dan untuk semua $ i \ di I ^ N = I ^ E $,

2. $ S ^ N_i = \ {$ strategi murni $ i $ in $ \ Gamma ^ E $ $ \} $,

3. dan $ u ^ N_i (s) = u ^ E_i (c (s)) $, di mana $ c (s) $ mengaitkan setiap profil strategi murni dalam $ \ Gamma ^ E $ dengan simpul terminal $ \ Gamma ^ E $ dihasilkan dari profil strategi murni $ s $.

Saya pikir 1. dan 2. sudah jelas. Yang tersisa hanya menunjukkan 3, yang setara dengan membuktikan bahwa $ c (s) $ adalah fungsi, mis. Setiap profil strategi murni dikaitkan dengan satu dan hanya satu simpul terminal dalam $ \ Gamma ^ E $. Ini mengikuti langsung dari kenyataan bahwa strategi murni dari beberapa pemain $ i $ adalah fungsi memilih satu dan hanya satu tindakan yang mungkin dari setiap kumpulan informasi.

• Mulai dari node root, $ r_0 $.
• Menurut definisi permainan dalam bentuk yang luas, node dipartisi antara agen.
• Jadi $ r_0 $ milik beberapa agen $ i_0 $.
• Menurut definisi permainan dalam bentuk yang luas, node $ i_0 $ dipartisi menjadi kumpulan informasi.
• Jadi $ r_0 $ milik sejumlah informasi $ i_0 $, katakanlah $ H_i ^ 0 $.
• Menurut definisi dari strategi murni $ s $, untuk setiap simpul dalam $ H_i ^ 0 $, $ i_0 $ selalu memilih a tunggal pengganti, di antara kemungkinan pengganti di $ H_i ^ 0 $.
• Biarkan penerus ini menjadi $ r_1 $.

• Maka $ r_1 $ harus menjadi penerus $ r_0 $, dan simpul berikutnya di jalur.

• Sekarang pertimbangkan $ r_1 $.

• Menurut definisi permainan dalam bentuk yang luas, node dipartisi antara agen.
• Jadi $ r_1 $ milik beberapa agen $ i_1 $ (di mana $ i_1 = i_0 $ diperbolehkan)
• $ \ vdots $
• Mengulang argumen sebanyak waktu yang diperlukan, karena gim ini terbatas, kita harus mencapai simpul terminal tunggal $ r_ * = c (s) $.