Buktikan varians sampel adalah penduga yang tidak bias

Saya harus membuktikan bahwa varians sampel adalah penduga yang tidak bias. Apa yang ditanyakan persis adalah untuk menunjukkan bahwa penaksir varians sampel berikut ini tidak bias:

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$

Saya sudah mencoba menemukan jawabannya sendiri, tetapi saya tidak berhasil menemukan bukti yang lengkap.

Saya tahu bahwa selama waktu kuliah saya memiliki masalah yang sama untuk menemukan bukti lengkap, yang menunjukkan secara tepat langkah demi langkah mengapa penaksir varians sampel tidak bias.

Bukti yang saya gunakan dapat ditemukan di http://economictheoryblog.wordpress.com/2012/06/28/latexlatexs2/

Buktinya sendiri tidak terlalu rumit tapi agak lama. Itu juga alasan mengapa saya tidak menuliskannya di sini dan mungkin itu tidak adil terhadap orang yang sebenarnya menyediakannya.

Untuk bukti yang lebih singkat, berikut adalah beberapa hal yang perlu Anda ketahui sebelum memulai:

adalah pengamatan independen dari populasi dengan mean μ dan varians σ $X_1, X_2 , ..., X_n$$\mu$$\sigma^{2}$

, V a r ( X i ) = σ $\mathbb E(X_i) = \mu$$\mathbb{Var}(X_i)= \sigma^{2}$

$\mathbb E(X^2) = \sigma^{2} + \mu^{2}$

$\mathbb{Var}(X)=\mathbb E(X^2)-\mathbb [E(X)]^2$

$\mathbb E(\bar{X}^2) = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2$

---

Mari kita coba perlihatkan bahwa $\mathbb E(s^2)= \mathbb E\left(\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2}{n-1}\right) = \sigma^{2}$

Untuk membuat hidup saya lebih mudah, saya akan menghilangkan batas penjumlahan dari sekarang dan seterusnya, tetapi biarkan diketahui bahwa kita selalu menjumlahkan dari ke n .$1$$n$

$\mathbb E\left(\sum (X_i - \bar X)^2 \right) = \mathbb E\left(\sum X_{i}^2 - 2 \bar X \sum X_i + n \bar X^2 \right) = \sum \mathbb E(X_{i}^2) - \mathbb E\left(n \bar X^2 \right)$

$\sum \mathbb E(X_{i}^2) - \mathbb E\left(n \bar X^2 \right) = \sum \mathbb E(X_{i}^2) - n \mathbb E\left(\bar X^2\right) = n \sigma^2 + n \mu^2 - \sigma^2 -n \mu^2$

Ini menyederhanakan ke $(n-1) \sigma^2$

Sejauh ini, kami telah menunjukkan bahwa $\mathbb E\left(\sum (X_i - \bar X)^2 \right) = (n-1)\sigma^2$

$\mathbb E(s^2)= \mathbb E\left(\frac{\sum (X_i - \bar X)^2}{n-1}\right) = \frac{1}{n-1} \mathbb E\left(\sum (X_i - \bar X)^2 \right)$

$\mathbb E(s^2) = \frac {(n-1)\sigma^2}{n-1} = \sigma^2$

Kami sekarang telah menunjukkan bahwa varians sampel adalah penaksir yang tidak bias dari varians populasi.

Mari kita tingkatkan metrik "jawaban per pertanyaan" dari situs, dengan memberikan varian jawaban @FiveSigma yang menggunakan asumsi iid (yang menunjukkan kebutuhan).

$$s^2 \equiv \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$$

$n$$\sigma^2$

$$E(s^2) =?\; \sigma^2$$

Pertama, tulis

$$s^2 \equiv \frac{n}{n-1} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$$

Kemudian

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 = \frac 1n \left(\sum_{n=1}^n(x_i^2- 2\bar x x_i + \bar x^2)\right) = \frac 1n \sum_{n=1}^nx_i^2- 2\bar x \frac 1n \sum_{n=1}^nx_i + \bar x^2$$

$\bar x = \frac 1n \sum_{n=1}^nx_i$

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 =\frac 1n \sum_{n=1}^nx_i^2- \bar x^2$$

Kami mempertimbangkan nilai yang diharapkan dari dua komponen

$$E\left(\frac 1n \sum_{n=1}^nx_i^2\right) = \frac 1n \sum_{n=1}^nE(x_i^2)=E(X^2)$$

karena variabel terdistribusi secara identik.

Juga

$$\bar x ^2 = \left(\frac 1n \sum_{n=1}^nx_i\right)^2 = \frac 1{n^2}\left(\sum_{n=1}^nx_i^2 + \sum_{i\neq j}x_ix_j\right)$$

$n^2-n$

$$E(\bar x^2) = \frac 1{n^2}(nE(X^2)) + \frac 1{n^2}\left[(n^2-n)E(x_i)E(x_j)\right]$$

$E(x_ix_j) = E(x_i)E(x_j)$$E(x_i)E(x_j) = [E(X)]^2$

$$E(\bar x^2) = \frac 1nE(X^2) + \frac {n-1}{n}[E(X)]^2$$

Menyatukan semuanya,

$$E(s^2) = \frac {n}{n-1}\cdot \left[E(X^2) - \frac 1nE(X^2) - \frac {n-1}{n}[E(X)]^2\right]$$

$$= \frac {n}{n-1}\cdot \left[\frac {n-1}{n}E(X^2) - \frac {n-1}{n}[E(X)]^2\right]$$

$$\implies E(s^2) = E(X^2) - [E(X)]^2 \equiv {\rm Var}(X)$$