Buktikan varians sampel adalah penduga yang tidak bias


8

Saya harus membuktikan bahwa varians sampel adalah penduga yang tidak bias. Apa yang ditanyakan persis adalah untuk menunjukkan bahwa penaksir varians sampel berikut ini tidak bias:

s2=1n-1saya=1n(xsaya-x¯)2

Saya sudah mencoba menemukan jawabannya sendiri, tetapi saya tidak berhasil menemukan bukti yang lengkap.


3
Silakan posting apa yang telah Anda capai sejauh ini - dan tambahkan tag belajar mandiri / pekerjaan rumah.
Alecos Papadopoulos

1
@AlecosPapadopoulos Apakah tag pekerjaan rumah benar-benar berarti? Saya telah menghapus mereka di tempat saya menemukannya, karena saya tidak melihat nilai di dalamnya.
FooBar

@ FooBar Saya tidak yakin ini ide yang bagus. Meta-utas kami menunjukkan pendapat yang agak kuat untuk mengakui secara eksplisit pertanyaan pekerjaan rumah, dalam tag.
Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos dapatkah Anda menautkan ke saya diskusi itu? Saya hanya menemukan pertanyaan tanpa jawaban: meta.economics.stackexchange.com/questions/1252/...
FooBar

Jawaban:


8

Saya tahu bahwa selama waktu kuliah saya memiliki masalah yang sama untuk menemukan bukti lengkap, yang menunjukkan secara tepat langkah demi langkah mengapa penaksir varians sampel tidak bias.

Bukti yang saya gunakan dapat ditemukan di http://economictheoryblog.wordpress.com/2012/06/28/latexlatexs2/

Buktinya sendiri tidak terlalu rumit tapi agak lama. Itu juga alasan mengapa saya tidak menuliskannya di sini dan mungkin itu tidak adil terhadap orang yang sebenarnya menyediakannya.


2
Buktinya adalah maksimal empat hingga lima baris . Saya mengetahui tautan yang Anda tunjukkan, saya selalu kagum dengan panjangnya yang tidak perlu.
Alecos Papadopoulos

11

Untuk bukti yang lebih singkat, berikut adalah beberapa hal yang perlu Anda ketahui sebelum memulai:

adalah pengamatan independen dari populasi dengan mean μ dan varians σ 2X1,X2,...,Xnμσ2

, V a r ( X i ) = σ 2E(Xsaya)=μVSebuahr(Xsaya)=σ2

E(X2)=σ2+μ2

VSebuahr(X)=E(X2)-[E(X)]2

E(X¯2)=σ2n+μ2


Mari kita coba perlihatkan bahwa E(s2)=E(i=1n(XiX¯)2n1)=σ2

Untuk membuat hidup saya lebih mudah, saya akan menghilangkan batas penjumlahan dari sekarang dan seterusnya, tetapi biarkan diketahui bahwa kita selalu menjumlahkan dari ke n .1n

E((XiX¯)2)=E(Xi22X¯Xi+nX¯2)=E(Xi2)E(nX¯2)

E(Xsaya2)-E(nX¯2)=E(Xsaya2)-nE(X¯2)=nσ2+nμ2-σ2-nμ2

Ini menyederhanakan ke (n-1)σ2

Sejauh ini, kami telah menunjukkan bahwa E((Xsaya-X¯)2)=(n-1)σ2

E(s2)=E((Xsaya-X¯)2n-1)=1n-1E((Xsaya-X¯)2)

E(s2)=(n-1)σ2n-1=σ2

Kami sekarang telah menunjukkan bahwa varians sampel adalah penaksir yang tidak bias dari varians populasi.


4

Mari kita tingkatkan metrik "jawaban per pertanyaan" dari situs, dengan memberikan varian jawaban @FiveSigma yang menggunakan asumsi iid (yang menunjukkan kebutuhan).

s21n-1saya=1n(xsaya-x¯)2

nσ2

E(s2)=?σ2

Pertama, tulis

s2nn-11nsaya=1n(xsaya-x¯)2

Kemudian

1nsaya=1n(xsaya-x¯)2=1n(n=1n(xsaya2-2x¯xsaya+x¯2))=1nn=1nxsaya2-2x¯1nn=1nxsaya+x¯2

x¯=1nn=1nxsaya

1nsaya=1n(xsaya-x¯)2=1nn=1nxsaya2-x¯2

Kami mempertimbangkan nilai yang diharapkan dari dua komponen

E(1nn=1nxsaya2)=1nn=1nE(xsaya2)=E(X2)

karena variabel terdistribusi secara identik.

Juga

x¯2=(1nn=1nxsaya)2=1n2(n=1nxsaya2+sayajxsayaxj)

n2-n

E(x¯2)=1n2(nE(X2))+1n2[(n2-n)E(xsaya)E(xj)]

E(xsayaxj)=E(xsaya)E(xj)E(xsaya)E(xj)=[E(X)]2

E(x¯2)=1nE(X2)+n-1n[E(X)]2

Menyatukan semuanya,

E(s2)=nn-1[E(X2)-1nE(X2)-n-1n[E(X)]2]

=nn-1[n-1nE(X2)-n-1n[E(X)]2]

E(s2)=E(X2)-[E(X)]2VSebuahr(X)
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.