Pajak lump sum dalam model generasi yang tumpang tindih

Saya sedang mengerjakan masalah buku teks saya, menggunakan model generasi yang tumpang tindih. Dalam perekonomian ini, orang diberkahi dengan barang ketika muda, dan apa-apa ketika tua. Mereka akan memilih untuk bertukar beberapa abadi mereka untuk uang, dan karenanya permintaan uang riil diberikan oleh N ( y - c 1 , t ) bagi penduduk N dari orang-orang muda, dan nilai v t uang.$y$

$$N(y-c_{1, t})$$ $N$$v^t$

Dalam pertanyaan ini, jumlah uang beredar menyusut sehingga $M_{t+1} = zM_{t}$ dengan $0<z<1$ . Yang lama dikenai pajak $\tau$ barang oleh pemerintah, dibayarkan dalam bentuk uang kertas. Itu kemudian menghancurkan pendapatan ini.

Saya telah menemukan bahwa tingkat pengembalian uang yang diberikan oleh

$$\frac{v_{t+1}}{v_t} = \frac{1}{z} > 1$$

Pertanyaan itu meminta bukti bahwa situasi ini tidak akan memaksimalkan kesejahteraan individu. Saya pertama kali menemukan batasan anggaran seumur hidup:

$$c_{1, t} + zc_{2, t+1} \leq y - z\tau$$

dan kemudian menemukan set yang layak untuk konsumsi untuk setiap individu:

$$c_1 + c_2 + \tau \leq y$$

Ketika saya sekarang membandingkan persimpangan konsumsi periode pertama dan kedua, saya tampaknya menemukan bahwa konsumsi untuk kedua periode akan lebih dari layak. Misalnya persimpangan set layak saya adalah

$$c_1 = y - \tau, c_2 = y - \tau$$

sedangkan untuk kesetimbangan, saya dapatkan

$$c_1 = y - z\tau, c_2 = \frac{y}{z} - \tau$$

keduanya lebih dari setara yang layak, karena . Apa yang saya lakukan salah di sini?$z < 1$

$\tau$

$N$
$N=1$


$1$$2$

$t+1$$y-c_{1,t+1}$

Kliring pasar menyiratkan secara riil bahwa semua barang nyata akan berpindah tangan, dan kemudian Old yang membelinya akan mengonsumsinya. Jadi kita dapatkan

$$c_{2,t+1} = y- c_{1,t+1} \implies c_{2,t+1} + c_{1,t+1} = y \tag{1}$$

$$TR_{t+1} = p_{t+1}(y-c_{1,t+1}) \tag{2}$$

$t$$t+1$$\tau$$T_{t+1} = p_{t+1}\tau$

$$TE_{t+1} = p_t(y-c_{1,t}) - p_{t+1}\tau \tag {3}$$

$(2)$$(3)$

$$p_{t+1}(y-c_{1,t+1}) = p_t(y-c_{1,t}) - p_{t+1}\tau \implies p_{t+1}(y-c_{1,t+1} +\tau) = p_t(y-c_{1,t})$$

$(1)$

$$p_{t+1}(c_{2,t+1}+ \tau) = p_t(y-c_{1,t})\tag{4}$$

Kami juga diberi tahu bahwa apa uang fiat yang dikumpulkan pemerintah sebagai pajak, itu menghancurkan, menargetkan tingkat pengurangan tetap. Jadi kita punya

$$m_{t+1} = m_t - T_{t+1} = m_t - p_{t+1}\tau = zm_t$$

$$\implies m_t = \frac {p_{t+1}\tau}{1-z} ,\;\; 0<z<1 \tag {5}$$

$m_t = p_t(y-c_{1,t})$

$$p_t(y-c_{1,t}) = \frac {p_{t+1}\tau}{1-z} \tag {6}$$

$(4)$$(6)$

$$(4), (6) \implies p_{t+1}(c_{2,t+1}+ \tau) = \frac {p_{t+1}\tau}{1-z}$$

$$\implies c_{2,t+1} = \frac {z}{1-z}\tau \tag{7}$$

$y$$(1)$

$$c_{1,t+1} = y-\frac {z}{1-z}\tau \tag{8}$$

$z$$\tau$

$$c_1 = y- \frac {z}{1-z}\tau ,\;\; c_2 = \frac {z}{1-z}\tau \tag{9}$$

$(9)$$(4)$

$$(4), (9) \implies p_{t+1}\left(\frac {z}{1-z}\tau+ \tau\right) = p_t\frac {z}{1-z}\tau$$

$$\implies \frac {p_{t+1}}{p_t} = z <1 \tag{10}$$

seperti yang diharapkan. Jumlah barang yang konstan dengan jumlah uang kertas yang menyusut$\implies$ deflasi.

Mengenai masalah apakah keseimbangan di sini adalah pemaksimalan kesejahteraan .

$(4)$$(10)$

$$\max V = \ln(c_1)+ \frac 1{1+\rho}\ln(c_2)\\ s.t. \;\; y - zc_{2} - z\tau = c_{1} \tag {11}$$

$c_2$

$$-z\frac 1 {c_1} + \frac 1{1+\rho}\frac 1 {c_2} = 0 \implies c_1 = (1+\rho)zc_2 \tag{12}$$

$(9)$$z$

$$(11), (12) \implies (1+\rho)zc_2 = y - zc_{2} - z\tau \implies (2+\rho)zc_2^* = y - z\tau \tag{13}$$

$$(9), (13):\;\; c_2^{eq.} = c_2^* \implies \frac {(2+\rho)\tau z^2}{1-z} = y - z\tau$$

$$\implies (1+\rho)\tau z^2 +(y+\tau)z - y = 0$$

Ini memiliki solusi nyata positif tunggal

$$z^* = -\frac {y+\tau}{2(1+\rho)\tau} + \left[\left(\frac {y+\tau}{2(1+\rho)\tau}\right)^2+\frac {y}{(1+\rho)\tau}\right]^{1/2}$$

$z$

$$c_1 > 0 \implies y- \frac {z}{1-z}\tau > 0 \implies z < \frac {y}{y+\tau} <1$$

$$-\frac {y+\tau}{2(1+\rho)\tau} + \left[\left(\frac {y+\tau}{2(1+\rho)\tau}\right)^2+\frac {y}{(1+\rho)\tau}\right]^{1/2} < \;? \; \frac {y}{y+\tau}$$

$z^*$