Permintaan Marshallian untuk Cobb-Douglas

Ketika mencoba memaksimalkan utilitas yang memiliki fungsi utilitas cobb-douglas , dengan , saya menemukan rumus berikut ( Wikipedia: Permintaan Marshallian ): $u=x_1^ax_2^b$ $a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

Di salah satu buku saya, saya juga menemukan formula ini untuk tujuan yang sama:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

Dengan : harga barang; : anggaran $p_i$ $m$

Saya menguji semuanya dan mereka menghasilkan hasil yang sama.
Jadi, apakah ada perbedaan?

— pengguna1170330
sumber

tidak berhubungan dengan secara eksklusif? to

a

$a$

x_{1}

$x_1$

b

$b$

x_{2}

$x_2$

— Jamzy

Bisakah Anda meluruskan beberapa notasi? Dalam contoh kedua, apakah a dan b eksponen dalam fungsi utilitas x1 dan x2? Apakah mereka berjumlah 1? Apakah y dalam masalah pertama sama dengan m dalam masalah kedua?

— BKay

@ Jonzy: Ya, benar.

— user1170330

@BKay: Silakan lihat notasi saya yang diperbarui.

— user1170330

Jawaban:

Karena persamaannya persis sama. Mengganti dengan di persamaan ketiga dan keempat memberikan persamaan pertama dan kedua. $a + b=1$ $a+b$ $1$

— BKay
sumber

Bisakah rumus ini juga diedit agar berfungsi dengan fungsi utilitas seperti ? Jadi dengan nomor tambahan sebelum ?

u = 5 x_{1}^{0.5} * 2 x_{2}^{0.5}

$u=5x_1^{0.5}*2x_2^{0.5}$

x_{i}

$x_i$

— user1170330

Saya sarankan mengajukan ini sebagai pertanyaan baru.

— BKay

Bagaimana jika ? Haruskah saya menggunakan rumus 3 dan 4 dalam hal ini?

a + b \neq 1

$a+b \neq 1$

— user1170330

@ user1170330 jika masih berfungsi

a + b \neq 1

$a+b\neq1$

— Jamzy

Ini adalah bagaimana Anda mendapatkan dari persamaan pertama Anda ke persamaan kedua. fungsi utilitas Anda adalah karena Saya akan mengubahnya sedikit menjadi a dan (1-a) Untuk mengoptimalkan dua pilihan ini, Anda perlu memaksimalkan utilitas , wrt variabel pilihan Anda. $u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$ $a+b=1$

tunduk pada menggunakan Hukum Walras. Pada dasarnya, untuk mengoptimalkan utilitas, semua uang akan dihabiskan. $p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Fungsi Cobb-Douglas biasanya sulit untuk masalah optimasi. Transformasi monotonik yang mempertahankan sifat ordinal fungsi dapat digunakan.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Ini akan digunakan sebagai gantinya. Batasan anggaran yang sama akan diterapkan.

Kondisi Lagrange dan First Order Di Bawah Ini

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

memanipulasi kondisi Urutan Pertama menghasilkan

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

mengganti dalam batasan anggaran $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

dan

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

Dengan menggunakan hasil ini, kami dapat menentukan bundel konsumsi optimal dan untuk harga tertentu, kombinasi kekayaan. $x_1$ $x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

— Jamzy
sumber