Penggunaan matematika dan definisi istilah yang tidak tepat

Sebagai seorang mahasiswa pascasarjana ekonomi saya sudah mencoba untuk memperluas "toolset" matematika saya. Ketika melakukan hal itu, saya telah berbicara dengan para insinyur, fisikawan, dan ahli matematika, yang banyak di antaranya telah meremehkan penggunaan matematika dalam bidang ekonomi. Argumen mereka beragam, tetapi satu tema umum dirangkum oleh kritikus matematika Michael Edesess :

Ekonomi berpura-pura menjadi matematika, tetapi itu bukan matematika. Ada perbedaan besar. Tidak ada ahli matematika yang menggunakan istilah dalam rumus, atau pernyataan teorema, kecuali istilah itu pertama kali didefinisikan dengan ketelitian luar biasa.

Dan sementara para ekonom mungkin berpikir mereka telah mendefinisikan istilah seperti "permintaan agregat" atau "pertumbuhan ekonomi", mereka harus mencoba membaca beberapa matematika nyata untuk melihat apa definisi yang sebenarnya. Para ekonom, saya pikir, membiarkan pekerjaan definisi disimpulkan dari cara istilah-istilah tersebut digunakan dalam formula.

Saya percaya saya tahu definisi yang tepat dari (cukup beberapa) istilah ekonomi, tapi mungkin Edesess menunjuk ke beberapa dasar matematika yang lebih mendalam yang mungkin tidak saya kenal. Bisakah seseorang memperluas argumennya dan bahkan mungkin membalas?

Edesess menyerang apa yang sebetulnya hanya ahli ekonomi. Saya tidak yakin dia benar-benar mengerti lapangan. Untuk memulai, ekonomi bukanlah matematika. Kami tidak mengklaim itu. Ini lebih dari ilmu "terapan". Para ekonom tidak pernah mengklaim bahwa definisi-definisi ini tepat seperti matematika. Definisi-definisi ini adalah konstruksi pemodelan --- mereka untuk pekerjaan terapan. Penggunaannya bersifat sementara. Intinya adalah mencoba untuk menyampaikan ide dengan cara yang lebih tepat daripada hanya dalam kata-kata --- tetapi semua orang tahu bahwa mereka tidak tepat seperti yang kita inginkan dan tidak setepat yang seharusnya. Mereka dimaksudkan untuk diperdebatkan dan kemudian disempurnakan. Tetapi, seperti yang diketahui oleh semua ilmuwan terapan, Anda harus memulai dari suatu tempat dan kadang-kadang ide-ide terbaik disampaikan melalui yang lebih sederhana --- jika kurang detail.

Menghasilkan definisi yang lebih baik adalah bagian besar dari ilmu ekonomi. Pertimbangkan contoh-contoh ini. Ketika Yayasan Cowles didirikan pada tahun 1932 moto-nya adalah "Teori dan Pengukuran" ( moto pertama kali diadopsi pada tahun 1952 ). Pengukuran bukanlah hal yang mudah dilakukan. Sebagai contoh lain, banyak karya Larry Kotlikoff telah membahas bagaimana banyak langkah fiskal tidak secara ekonomis didefinisikan dengan baik.

Einstein mengajarkan kepada kita bahwa waktu, maupun jarak bukanlah konsep fisik yang terdefinisi dengan baik. Sebaliknya, pengukuran mereka relatif terhadap kerangka referensi kami - seberapa cepat kami bepergian di alam semesta dan ke arah mana. Kerangka referensi fisik kita dapat dilihat sebagai bahasa atau konvensi pelabelan kita. ... Kotlikoff, bersama dengan Jerry Green dari Harvard, menawarkan bukti umum proposisi bahwa defisit dan sejumlah tindakan fiskal konvensional lainnya, secara ekonomi, bebas konten, menyimpulkan bahwa defisit hanyalah isapan jempol yang sewenang-wenang dalam semua bahasa. model ekonomi yang melibatkan agen rasional.

Juga, ambil contoh lain dari minat saat ini. Karya terbaru Lars Hansen (pemenang hadiah "Nobel" Ekonomi 2013) berfokus pada kesulitan dan kegagalan berkelanjutan untuk mendefinisikan konsep ekonomi tertentu, termasuk "gelembung" dan risiko sistemik. Lihat esainya "Tantangan dalam Mengidentifikasi dan Mengukur Risiko Sistemik" . Saya penggemar diktum yang dia sampaikan, dikaitkan dengan Lord Kelvin,

Saya sering mengatakan bahwa ketika Anda bisa mengukur sesuatu yang Anda bicarakan, ungkapkan dalam angka, Anda tahu sesuatu tentang itu; tetapi ketika Anda tidak bisa mengukurnya, ketika Anda tidak bisa mengungkapkannya dalam jumlah, pengetahuan Anda adalah jenis yang tidak memuaskan dan tidak memuaskan: itu mungkin merupakan awal dari pengetahuan, tetapi Anda hampir tidak memiliki, dalam pikiran Anda maju ke tahap sains, apa pun materi mungkin.

Dia mencatat bahwa "versi singkat muncul di gedung Penelitian Ilmu Sosial di University of Chicago." Jadi, ya, para ekonom (sebagai ilmuwan sosial) pasti menganggap ini serius.

Jadi, intinya adalah bahwa para ekonom sangat menyadari masalah dalam "definisi" ini. Mereka adalah bagian dari penelitian yang sedang berlangsung di lapangan; kadang-kadang mereka diabaikan jika orang tidak berpikir mereka adalah yang pertama dalam masalah; dll ...

Ekonomi berpura-pura menjadi matematika, tetapi itu bukan matematika.

Tuhan melarang, jika Anda permisi bahasa saya. Seperti banyak disiplin ilmu lainnya, Ekonomi menggunakan Matematika, yang pasti bukan Matematika, dan tidak pernah bisa menjadi Matematika.

Matematika mungkin mendapatkan inspirasi dari dunia nyata, tetapi kemudian mendefinisikan dan bekerja dengan konsep-konsepnya tanpa memperhatikan apakah mereka tetap terhubung dengan sumber inspirasi.
Ekonomi di sisi lain, berkewajiban untuk mendefinisikan konsep-konsepnya dengan cara yang mempertahankan beberapa tingkat relevansi dengan aspek-aspek dunia nyata yang ia coba pelajari . Dan karena "dunia nyata" yang menyibukkan Ekonomi adalah dunia sosial , penuh ketidakpastian dan undang-undang yang belum ditemukan, maka Ekonomi tidak akan pernah bisa mencapai "ketepatan luar biasa", dan tetap relevan . Terus? Ekonomi bukan Matematika, kami sudah mengatakan itu. Ekonomi lebih sulitdaripada Matematika, tepatnya karena itu tidak dapat memaksakan ketepatan seperti itu untuk dirinya sendiri dan tetap berguna. Tetapi ia mematuhi metode ilmiah, dan alih-alih terbatas pada argumen verbal, ia mencoba untuk "membuat matematikan" mereka (menggunakan bahasa simbolis, yaitu) sehingga mereka dapat lebih transparan dan fokus dalam hal kesimpulan dan konsistensi internal mereka. .

Akan jauh lebih mudah untuk menghasilkan risalah verbal, yang pertama memerlukan putaran analisis semantik, dan kemudian, jika putaran ini akhirnya menyimpulkan suatu tempat, untuk membahas argumen itu sendiri . Tetapi begitu kita memasukkannya ke dalam bahasa simbolik, kita membersihkan kabut dan kita membiarkan premis kita (dan juga keterbatasan dan ketidaksempurnaan kita ) bersinar bagi siapa pun yang tertarik untuk melihatnya. Itulah yang saya sebut integritas ilmiah dalam Ilmu Sosial, dan inilah mengapa saya menganggap Ekonomi sebagai Avant-garde Ilmu Sosial.

Definisi dalam Matematika

Bidang matematika jauh lebih dari sekadar aplikasi. Faktanya, aplikasi adalah hasil dari matematika aktual yang datang dalam bentuk pembuktian dan teorema. Sebagai contoh, dalam teori cincin, matematikawan perlu membuktikan bahwa a * 0 = 0untuk semua nilai a. Di bawah ini adalah buktinya: Observe a * 0 = a(0 * 0) = a * 0 + a * 0. (1) Then we add -(a * 0) to both sides to get (a * 0) + -(a * 0) = (a * 0 + a * 0) + -(a * 0) (2) This gives us 0 = a * 0. (3)

Aplikasi ini menguntungkan banyak individu ketika digunakan untuk menunjukkan 5 * 0 = 0, tetapi ini hanyalah hasil dari hasil yang lebih luas yang telah terbukti.

Bagaimana bukti-bukti ini dibangun? Melalui definisi. Untuk membuktikan hasil di atas, kami tidak dapat berasumsi bahwa a(0 * 0) = a * 0 + a * 0; alih-alih, kami perlu menggunakan definisi "cincin" yang, menurut definisi, memungkinkan untuk baris (1). Demikian pula, kami perlu menggunakan definisi "cincin" untuk mengetahui bahwa kami diizinkan untuk menggunakan -(a * 0)baris (2).

Definisi dalam Ekonomi

Ekonomi, bagaimanapun, tidak menggunakan definisi dalam kapasitas yang sama. Di sini, definisi digunakan hanya untuk "mendefinisikan istilah" daripada "hubungan istilah". Dalam bidang Ekonomi, seseorang tidak dapat membuktikan bahwa, dalam jangka pendek, memperluas jumlah uang beredar (yang menyebabkan inflasi) akan mengurangi pengangguran. Definisi dalam ekonomi tidak diatur untuk melakukan itu; terlebih lagi, mereka tidak dapat melakukan itu.
Sebagian alasan mengapa definisi dalam ekonomi tidak dapat melakukan ini adalah karena definisi tersebut. Pikirkan istilah "baik," "pasar," dan "permintaan." Semua istilah ini memiliki definisi yang ceroboh. Mereka tidak benar-benar berhubungan dengan hal lain. Di sisi lain, kami memiliki istilah seperti "mata uang" dan "PDB" yang memiliki definisi luas dan tepat. Definisi-definisi ini telah dipilih dengan sengaja, dan pengukuran "mata uang" dan "PDB" tepat karena ini.
Bagian lain dari mengapa Ekonomi memiliki definisi "buruk" adalah karena studi ekonomi itu sendiri. Ekonomi sangat bergantung pada permintaan individu. Permintaan ini tidak dapat dikuantifikasi juga tidak ada jaminan bahwa itu akan tetap sama dari satu saat ke saat berikutnya. Dengan demikian, tidak ada cara nyata untuk membangun bukti yang akan benar melampaui momen tertentu. Karena itu, ekonomi tidak memerlukan definisi yang ketat. Namun, dalam Matematika, kita dapat membuat bukti terlepas dari angka yang kita gunakan dan, dengan demikian, melampaui batasan hingga konteks yang sangat luas. Dalam bukti di atas, kami menggunakan abukan angka sehingga kami tidak harus bergantung pada menggunakan nomor itu dan hanya nomor itu. Dengan menggunakan a, kita tahu bahwa mengalikan angka apa pun dengan 0memberi kita 0.

Respon untuk Edesess

Edesess sebagian besar (mungkin 95%) benar. Sebenarnya, sebagian besar definisi ekonomi tidak "didefinisikan secara tepat" ke tingkat yang sama dengan definisi matematika. Dalam Matematika, definisi dipertimbangkan secara hati-hati dan diputuskan oleh Komunitas Matematika secara keseluruhan (tidak untuk mengatakan bahwa definisi ekonomi tidak, tetapi itu di luar pengetahuan saya). Juga, karena sifat Ekonomi, penggunaan definisi tidak dapat digunakan untuk membuktikan apa pun.
Menanggapi Edesess, bagaimanapun, ekonomi tidak boleh diperlakukan sebagai Matematika karena perbedaan mendasar dalam cara mereka membuat penemuan. Ekonomi maju melalui jajak pendapat, data pasar, grafik penawaran dan permintaan; Matematika dilanjutkan dengan penelitian, bukti, dan teorema.

Kritik Edesess, melenceng. Kenyataannya jauh lebih mendalam daripada sekadar penyalahgunaan definisi matematika.

Kebenaran pernyataan matematis sangat bergantung pada kemampuan untuk menelusuri kembali definisi apa pun yang digunakan pada tingkat logis aksiomatik . Dalam pengertian ini, seseorang tidak akan menemukan ahli matematika mana pun yang liar menggunakan definisi yang tidak dapat direduksi menjadi badan pengetahuan yang benar secara matematis / logis yang sudah ada. Tapi ini menyatakan yang sudah jelas.

Dalam bidang sains terapan (biologi, kedokteran, teknik, dll, dll), seseorang mulai dengan masalah nyata (domain masalah), atau fenomena, dan memodelkan masalah dalam bahasa matematika. Tujuannya adalah untuk memecahkan / mempelajari / mensimulasikan masalah matematika, untuk dapat mengatakan sesuatu tentang masalah sebenarnya.

The kritik sebenarnya tentang matematika-isasi ekonomi (yang dimulai dengan Samuelson di 50 60). Klaimnya adalah bahwa beberapa ekonom melakukan transformasi ke domain matematika dan kehilangan pandangan terhadap masalah asli dan tidak pernah mengubah kembali ke domain masalah (yaitu interaksi orang, perusahaan, sumber daya, dll). Para ekonom ini muncul konten dengan merumuskan hubungan aljabar linier, atau menyelesaikan persamaan vektor auto-regresif, tanpa pembenaran empiris - atau lebih buruk - mengklaim bahwa ekonomi tersebut di atas pertimbangan jangka pendek (yaitu teori saya tidak dapat dipalsukan dalam masa hidup kita).

Ada banyak contohnya. Satu satu yang jelas adalah apa yang disebut teori keseimbangan umum - yang tidak hanya ditunjukkan secara matematis cacat (melalui beberapa kesetimbangan (lihat Sonnenschein, Mantel, Debreu teorema) pada 1970-an), tetapi hipotesis kurang setiap konten empiris. Akibatnya, beberapa ekonom lebih memilih untuk tetap berada di ranah matematis - mungkin mengejar model yang lebih akurat (GE yang dapat dihitung, GE dinamis, GE stokastik, GE stokastik dinamis, dll., Dll) - maka kritik yang disalahpahami bahwa ekonom menyamar sebagai ahli matematika . Orang bisa membuat kasus orang-orang seperti itu lebih akurat digambarkan sebagai pseudo-matematikawan, menyamar sebagai ekonom (dalam arti domain masalah).