Apa yang dimaksud pengganti / pelengkap dalam hal turunan parsial campuran?

10

Saya mencoba memahami bagaimana substitusi berkaitan dengan turunan parsial campuran. Saya pikir perubahan utilitas marjinal sehubungan dengan perubahan jumlah akan sesuai dengan $x$ jadi saya bingung ketika saya mengambil sebagian dari itu sehubungan dengan. Apakah ini mengukur tingkat perubahan MU wrtsaat kita mengubah? Bagaimana itu terkait dengan menjadi pengganti?

\frac{\partial U}{\partial x}

$\frac{\partial U}{\partial x}$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

microeconomics

— Stan Shunpike
sumber

Jika kita mulai dari dasar-dasarnya: Jika

saling melengkapi dengan

maka

y

$y$

x

$x$

. Baik?

\frac{d y_{d}}{d p_{x}} < 0

$\frac{dy_d}{dp_x} < 0$

— snoram

13

Sangat penting di sini untuk mencatat bahwa ada beberapa, kemungkinan yang saling tidak konsisten, untuk bagaimana mendefinisikan pengganti / pelengkap.

Salah satu caranya adalah dengan mengatakan bahwa dan adalah pelengkap jika peningkatan meningkatkan utilitas marginal (atau, mengingat simetri parsial campuran, sebaliknya): $x$ $y$ $y$ $x$ Ini adalah saran dalam jawaban foobar.

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} > 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}>0\tag{1}$

Cara lain adalah dengan mengatakan bahwa dan adalah pelengkap jika penurunan harga meningkatkan permintaan Hicksian (alias kompensasi) untuk . Karena permintaan Hicksian adalah turunan dari fungsi biaya (alias pengeluaran) oleh lemma Shephard , ini juga dapat dinyatakan sebagai kondisi pada sebagian campuran: $x$ $y$ $y$ $x$ Ini adalah saran dalam komentar snoram, dan itu adalah gagasan yang lebih umum diajarkan di kelas mikro.

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial^{2} C}{\partial {hal}_{x} \partial {hal}_{y}} < 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x\partial p_y}<0\tag{2}$

Definisi-definisi ini tidak setara! Memang, dalam kasus apa pun dengan hanya dua barang, kedua barang tersebut harus merupakan pengganti menurut (2), terlepas dari apakah cross-partial dalam (1) positif atau tidak. $U$

Orang dapat memberikan label yang bermanfaat untuk konsep-konsep ini (meskipun label ini lebih umum dalam hal produksi daripada fungsi utilitas). Berikut Hicks, kita dapat memanggil melengkapi dengan definisi (1) q-komplemen : jika dan adalah q-komplemen, peningkatan kuantitas dari mengarah ke peningkatan nilai marjinal . Sementara itu, kami dapat memanggil melengkapi dengan definisi (2) p-komplemen : jika dan adalah p-komplemen, penurunan harga dari mengarah ke peningkatan permintaan untuk . Lihat, misalnya, $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$ Seidman (1989) untuk ikhtisar singkat.

Kedua konsep berguna dalam situasi yang berbeda - itu tergantung pada apa yang Anda minati!

Catatan yang lebih teknis: Anda mungkin memperhatikan bahwa (1) dan (2) tidak tampak sangat mirip satu sama lain: (2) adalah konsep kompensasi , menjaga kami pada kurva indiferen yang sama, sedangkan (1) tidak. Ini adalah kritik yang valid, dan memang ada gagasan alternatif "komplemen q" yang dikompensasi, dan gagasan "komplemen p" yang tidak.

$x$ $y$ $U$ , meskipun saya tidak memiliki salinannya sendiri.) Gagasan ini juga memiliki karakterisasi parsial campuran, dalam hal sesuatu yang disebut fungsi jarak, yang merupakan alat teori mikro keren yang tidak ada yang belajar lagi; matriks parsial campuran fungsi jarak disebut matriks Antonelli, dan merupakan kebalikan umum dari matriks Slutsky yang dicintai.

$x$ $y$ $y$ $x$

$y$ $x$ $U$

— nominal kaku
sumber

Bisakah Anda mengklarifikasi mengapa persamaan 2 menyiratkan mereka harus menjadi pengganti?

— Stan Shunpike

\frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} = \frac{\partial (\partial C / \partial p_{x})}{\partial p_{y}} = \frac{\partial h_{x}}{\partial p_{y}}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x \partial p_y} = \frac{\partial(\partial C / \partial p_x)}{\partial p_y} = \frac{\partial h_x}{\partial p_y}$

h_{x}

$h_x$

x

$x$

Ya, tapi itu membuatnya jelas. Sekali lagi terima kasih atas jawaban yang luar biasa.

— Stan Shunpike

4

$x =$ $y =$

$y$ $x$

$U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$ $x$ $y$

Dengan sepatu dan permainan komputer kami, tentu saja turunan silang adalah 0. Dengan es krim dan sendok, kemungkinan besar adalah positif: Memiliki sendok meningkatkan manfaat marjinal yang Anda dapatkan dari es krim, karenanya korelasi silang positif.

Akhirnya, pikirkan tentang cokelat dan es krim. Seseorang dapat berargumen bahwa mereka bekerja sebagai pengganti (pikirkan tentang gurun, misalnya): Anda menginginkan yang satu atau yang lain. Jika Anda mendapatkannya secara gratis , tentu saja, tidak ada salahnya memiliki keduanya. Tetapi jika Anda harus membayar harga yang adil, Anda lebih suka membayar harga untuk salah satu pilihan dan tetap pada itu.

— FooBar
sumber

U_{x y} = U_{y x}

$U_{xy} = U_{yx}$