Bias OLS dalam estimasi permintaan: bias selalu meremehkan elastisitas permintaan?

10

Beberapa makalah berpendapat bahwa OLS dapat menghasilkan lebih sedikit bias daripada estimasi IV tergantung pada kualitas instrumen Anda. Misalkan kita mempertimbangkan persamaan estimasi permintaan.

Misalkan elastisitas permintaan negatif dalam OLS. Dengan intuisi saya, instrumen yang lemah seharusnya menghasilkan estimasi yang bias terhadap OLS, tetapi tidak kalah negatifnya. Bisakah kalian memberikan contoh? Saya tidak dapat benar-benar memahami bagaimana hal itu dapat menyebabkan estimasi yang lebih bias dengan estimasi IV.

econometrics

— John Doe
sumber

IV bias, tetapi konsisten, jadi saya membayangkan pernyataan Anda benar. tapi saya kira itu semua tergantung pada tujuan Anda. prediksi vs inferensi.

— user157623

Yang merupakan "beberapa makalah" (lebih disukai yang terkenal, atau jenis ulasan menyala) yang Anda rujuk dalam kalimat pertama Anda? Saya tertarik melihat mereka. Terima kasih.

— Kim Jong Un

8

Biasanya, . Penyebutnya akan menjadi nol. $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

Itu benar kecuali ada korelasi antara instrumen dan istilah kesalahan, dan nominator adalah kekuatan hubungan antara instrumen dan variabel endogen. Semakin kecil penyebut mendapat, semakin besar bias . $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

Selain itu, instrumen yang lemah tidak akan memiliki presisi, sehingga varians akan memiliki bias ke atas yang besar.

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

$n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

Itu sebabnya jika instrumen Anda lemah, maka Anda mungkin lebih baik menjalankan regresi OLS.

— Nox
sumber

Dalam persamaan untuk varian pertama estimator IV, saya percaya bahwa varian beta yang tidak bias hilang - kan? Anda hanya menetapkan varians ke bagian yang terkait dengan bias estimator IV. Jika saya salah, tolong jelaskan kepada saya apa yang saya lewatkan.

— John Doe

Baris berikut " " tidak persis varians (juga pembilang kehilangan notasi kuadrat, hanya salah ketik). Penyebutnya acak (karena bersifat endogen) dan variansnya jauh lebih rumit.

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

— chan1142

6

Instrumen yang lemah dikombinasikan dengan endogeneitas instrumental yang sedikit dapat menyebabkan bias yang lebih besar daripada OLS. Seperti yang ditunjukkan oleh jawaban Nox, batas probabilitas penaksir IV adalah . Ketika meskipun kecil, jika kecil, maka biasnya bisa besar. Lihat Bound, Jaeger dan Baker's (1995, JASA) komentar berikut persamaan (7) di halaman 444. $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

"Jelas dari Persamaan (7) bahwa korelasi yang lemah antara variabel yang berpotensi endogen, , dan instrumen, , akan memperburuk masalah yang terkait dengan korelasi antara instrumen dan kesalahan, . Jika korelasi antara instrumen dan variabel penjelas endogen lemah, maka bahkan korelasi kecil antara instrumen dan kesalahan dapat menghasilkan inkonsistensi yang lebih besar dalam estimasi IV dari daripada estimasi OLS. " $x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

Tanpa endogenitas instrumental, saya tidak berpikir bias penaksir IV (distribusi batas, mungkin tidak ada batas probabilitas) lebih besar dari inkonsistensi OLS.

Hal lain yang perlu dipertimbangkan adalah bahwa varians dari estimator IV menggunakan instrumen yang sangat lemah dapat menjadi besar bahkan dengan sangat besar , dan dengan demikian Anda mungkin memiliki estimasi IV yang lebih omong kosong daripada OLS untuk data yang ditetapkan hanya secara kebetulan. $n$

— chan1142
sumber