Optimalisasi Dinamis: Bagaimana jika kondisi urutan kedua tidak berlaku?


9

Pertimbangkan masalah optimisasi dinamis berikut

maxu0TF(x,u)dts.t. x˙=f(x,u)

FOC

Hamiltonian diberikan oleh

H(x,u,λ)=F(x,u)+λf(x,u)
Kondisi yang diperlukan untuk optimalitas diberikan oleh maksimum prinsip
Hu=0Hx=λ˙

Misalkan u=argmaxuH(x,u,λ) adalah pemaksimal, yaitu Huu<0 .

SOC

Teorema Panah Cukup menyatakan, bahwa kondisi yang diperlukan cukup jika Hamiltonian dimaksimalkan

H0(x,λ)=maxuH(x,u,λ)
cekung di x , yaitu jika Hxx<0 .

Masalah

Misalkan FOC bertahan, tetapi SOC gagal menahan.

  • Apa yang bisa dikatakan tentang optimalitas solusi?

1
Convexity bukan tidak adanya concavity.
Michael Greinecker

Saya menghapus bagian yang salah, saya harap Anda tidak keberatan. Jawabannya adalah: tidak banyak, coba sesuatu yang lain (misalnya kondisi kecukupan lain atau, jika Anda pikir itu cembung, tunjukkan bahwa itu cembung).
The Almighty Bob

Jawaban:


5

Tidak ada jawaban tunggal, itu akan tergantung pada rincian setiap masalah. Mari kita lihat contoh standar.

Pertimbangkan masalah pengoptimalan antarwaktu benchmark untuk model Ramsey

maxu0eρtu(c)dts.t.k˙=iδks.t.y=f(k)=c+i

Nilai saat ini adalah Hamiltonian

H~=u(c)+λ[f(k)cδk]

Memaksimalkan lebih dari saja yang kita milikic

H~c=u(c)λ=0u(c)=λc=(u)1(λ)

dan kondisi urutan ke-2 akan berlaku jika fungsi utilitas cekung,

2Hc2=u(c)<0

Selain itu, dari kondisi orde pertama berkenaan dengan konsumsi, jika non-kenyang lokal berlaku. Anggaplah kita memang memiliki preferensi "biasa".λ>0

Hamiltonian atas konsumsi yang dimaksimalkan adalah

H~0=u[(u)1(λ)]+λ[f(k)(u)1(λ)δk]

Derivatif parsial sehubungan dengan variabel keadaan, adalahk

H~0k=λ[f(k)δ],2H~0k2=λf(k)

Jadi di sini, kondisi kecukupan Arrow-Kurz bermuara pada apakah produk marjinal modal menurun, konstan, atau meningkat (yang akan tergantung pada tanda turunan kedua dari fungsi produksi). Dalam kasus standar dan kami memiliki kondisi yang cukup.f(k)<0

Dalam kasus penyimpangan yang paling terkenal, model Romer yang memprakarsai literatur Pertumbuhan Endogen, , dan produk marjinal modal adalah konstanta positif.f ( k ) = 0AKf(k)=0

Jadi apa yang bisa kita katakan dalam kasus ini?

Di sini, Seierstad, A., & Sydsaeter, K. (1977). Kondisi yang memadai dalam teori kontrol optimal. Tinjauan Ekonomi Internasional, 367-391. memberikan berbagai hasil yang dapat membantu kami.

Secara khusus, mereka membuktikan bahwa jika Hamiltonian bersama - sama cekung dalam dan , itu adalah kondisi yang cukup untuk maksimum. The Hessian of the Hamiltonian adalahkck

(kita dapat mengabaikan ketentuan diskon)

HeH=[u(c)00λf(k)]

Dalam kasus standar dengan ini adalah matriks pasti negatif dan Hamiltonian secara bersama-sama cekung dalam dan . c ku(c)<0,f(k)<0ck

Ketika , memeriksa bahwa matriksnya negatif-semidefinite langsung menggunakan definisi. Pertimbangkan vektor dan produkz = ( z 1 , z 2 ) TR 2f(k)=0z=(z1,z2)TR2

zTHeHz=z12u(c)0

ketidaksetaraan yang lemah ini berlaku , dan karena itu Hessian bersama-sama cekung dalam dan . c kzR2ck

Jadi dalam model pertumbuhan endogen, solusinya memang maksimal (tunduk pada batasan parameter yang diperlukan untuk masalah yang akan didefinisikan dengan baik tentu saja).AK


Terima kasih. Namun, saya pikir saya harus menjelaskan motif saya. Saya tahu bahwa Hamiltonian tidak cekung ketat dalam , atau bersama-sama mengonsep dalam . Di sini menggerakkan bentuk Hamiltonian karena dibatasi. Ini adalah fungsi cembung yang ketat untuk kecil dan sembarang dan fungsi cekung ketat untuk besar dan sembarang . Saya bertanya-tanya apakah kita dapat membuat pernyataan genereal tentang optimalitas dalam kasus seperti itu. ( x , u ) x u x u x ux(x,u)xuxuxu
tidak mengerti

@clueless Ini adalah pertanyaan yang berbeda (dan menarik), jadi akan lebih baik untuk menanyakannya di pos terpisah.
Alecos Papadopoulos
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.