Optimalisasi Dinamis: Bagaimana jika kondisi urutan kedua tidak berlaku?

Pertimbangkan masalah optimisasi dinamis berikut

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{T} F (x, u) d t \\ s.t. & \dot{x} = f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$

FOC

Hamiltonian diberikan oleh

\begin{aligned} H (x, u, λ) = F (x, u) + λ f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$ Kondisi yang diperlukan untuk optimalitas diberikan oleh maksimum prinsip

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial u} & = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial x} & = - \dot{λ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$

Misalkan $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ adalah pemaksimal, yaitu $H_{uu} < 0$ .

SOC

Teorema Panah Cukup menyatakan, bahwa kondisi yang diperlukan cukup jika Hamiltonian dimaksimalkan

\begin{aligned} H^{0} (x, λ) = max_{u} H (x, u, λ) \end{aligned}

$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$ cekung di

x

$x$ , yaitu jika

H_{x x} < 0

$H_{xx} < 0$ .

Masalah

Misalkan FOC bertahan, tetapi SOC gagal menahan.

Apa yang bisa dikatakan tentang optimalitas solusi?

optimization

— tidak mengerti
sumber

Convexity bukan tidak adanya concavity.

— Michael Greinecker

Saya menghapus bagian yang salah, saya harap Anda tidak keberatan. Jawabannya adalah: tidak banyak, coba sesuatu yang lain (misalnya kondisi kecukupan lain atau, jika Anda pikir itu cembung, tunjukkan bahwa itu cembung).

— The Almighty Bob

Tidak ada jawaban tunggal, itu akan tergantung pada rincian setiap masalah. Mari kita lihat contoh standar.

Pertimbangkan masalah pengoptimalan antarwaktu benchmark untuk model Ramsey

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. \dot{k} = i - δ k \\ s.t. y = f (k) = c + i \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$

Nilai saat ini adalah Hamiltonian

\tilde{H} = u (c) + λ [f (k) - c - δ k]

$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$

Memaksimalkan lebih dari saja yang kita miliki $c$

\frac{\partial \tilde{H}}{\partial c} = u^{'} (c) - λ = 0 ⟹ u^{'} (c^{*}) = λ ⟹ c^{*} = (u^{'})^{- 1} (λ)

$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$

dan kondisi urutan ke-2 akan berlaku jika fungsi utilitas cekung,

\frac{\partial^{2} H}{\partial c^{2}} = u^{″} (c^{*}) < 0

$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$

Selain itu, dari kondisi orde pertama berkenaan dengan konsumsi, jika non-kenyang lokal berlaku. Anggaplah kita memang memiliki preferensi "biasa". $\lambda >0$

Hamiltonian atas konsumsi yang dimaksimalkan adalah

{\tilde{H}}^{0} = u [(u^{'})^{- 1} (λ)] + λ [f (k) - (u^{'})^{- 1} (λ) - δ k]

$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$

Derivatif parsial sehubungan dengan variabel keadaan, adalah $k$

\frac{\partial {\tilde{H}}^{0}}{\partial k} = λ [f^{'} (k) - δ], \frac{\partial^{2} {\tilde{H}}^{0}}{\partial k^{2}} = λ f^{″} (k)

$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$

Jadi di sini, kondisi kecukupan Arrow-Kurz bermuara pada apakah produk marjinal modal menurun, konstan, atau meningkat (yang akan tergantung pada tanda turunan kedua dari fungsi produksi). Dalam kasus standar dan kami memiliki kondisi yang cukup. $f''(k) < 0$

Dalam kasus penyimpangan yang paling terkenal, model Romer yang memprakarsai literatur Pertumbuhan Endogen, , dan produk marjinal modal adalah konstanta positif. $AK$ $f''(k) =0$

Jadi apa yang bisa kita katakan dalam kasus ini?

Di sini, Seierstad, A., & Sydsaeter, K. (1977). Kondisi yang memadai dalam teori kontrol optimal. Tinjauan Ekonomi Internasional, 367-391. memberikan berbagai hasil yang dapat membantu kami.

Secara khusus, mereka membuktikan bahwa jika Hamiltonian bersama - sama cekung dalam dan , itu adalah kondisi yang cukup untuk maksimum. The Hessian of the Hamiltonian adalah $c$ $k$

(kita dapat mengabaikan ketentuan diskon)

{H e}_{H} = [\begin{matrix} u^{″} (c) & 0 \\ 0 & λ f^{″} (k) \end{matrix}]

${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$

Dalam kasus standar dengan ini adalah matriks pasti negatif dan Hamiltonian secara bersama-sama cekung dalam dan . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ $c$ $k$

Ketika , memeriksa bahwa matriksnya negatif-semidefinite langsung menggunakan definisi. Pertimbangkan vektor dan produk $f''(k) =0$ $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

z^{T} {H e}_{H} z = z_{1}^{2} u^{″} (c) \leq 0

$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$

ketidaksetaraan yang lemah ini berlaku , dan karena itu Hessian bersama-sama cekung dalam dan . $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ $c$ $k$

Jadi dalam model pertumbuhan endogen, solusinya memang maksimal (tunduk pada batasan parameter yang diperlukan untuk masalah yang akan didefinisikan dengan baik tentu saja). $AK$

— Alecos Papadopoulos
sumber

Terima kasih. Namun, saya pikir saya harus menjelaskan motif saya. Saya tahu bahwa Hamiltonian tidak cekung ketat dalam , atau bersama-sama mengonsep dalam . Di sini menggerakkan bentuk Hamiltonian karena dibatasi. Ini adalah fungsi cembung yang ketat untuk kecil dan sembarang dan fungsi cekung ketat untuk besar dan sembarang . Saya bertanya-tanya apakah kita dapat membuat pernyataan genereal tentang optimalitas dalam kasus seperti itu.

x

$x$

(x, u)

$(x,u)$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

— tidak mengerti

@clueless Ini adalah pertanyaan yang berbeda (dan menarik), jadi akan lebih baik untuk menanyakannya di pos terpisah.

— Alecos Papadopoulos