Apakah preferensi monotonik dan terus menerus harus rasional?

Biarkan $\succsim$ menjadi hubungan preferensi monotonik dan kontinu, dan biarkan $X=\mathbb{R}^{n}$ menjadi set konsumsi.

Apakah rasionalitas $\succsim$ tersirat oleh kondisi ini?

Saya pikir transitivitas disiratkan oleh kontinuitas. Namun, kelengkapan mengganggu, karena ada elemen $x,y \in X$ yang tidak dapat dipesan sehubungan dengan $\leq$ atau $\geq$ , dan karenanya kami tidak dapat menggunakan monotonitas untuk menunjukkan bahwa $\succsim$ selesai.

Saya telah memikirkan untuk membangun urutan $x_{n}$ dengan $x_{1}=x$ sedemikian rupa sehingga $x_{n} \to y$ dan baik $x_{n}\succsim x_{n+1}$ atau $x_{n+1} \succsim x_{n}$ . Kemudian dengan transitivitas dan kontinuitas kita dapat menunjukkan bahwa $x$ dan $y$ dapat dipesan sehubungan dengan $\succsim$ , tetapi saya tidak berpikir mungkin untuk membangun urutan seperti itu.

Bantuan apa pun akan dihargai, tetapi tolong beri petunjuk dan bukan solusi lengkap.

Pertimbangkan hubungan preferensi dalam x = ( x 1 , x 2 ) ≿ ( y 1 , y 2 ) = $\mathbb{R}^2$ sedemikian rupa sehingga dan .$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ x 2 ≥ y $x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) Anda mungkin ingin berdebat apakah hubungan preferensi ini benar-benar monoton dan berkelanjutan.

2) Apakah hubungan yang didefinisikan di atas selesai?

Kemudian, sebagai makanan tambahan, Anda mungkin juga mempertimbangkan kembali klaim Anda bahwa kesinambungan adalah penyebab transitivitas.

Catatan: Saya baru saja menulis yang khusus ini dengan tujuan memberikan eksperimen pemikiran. Lebih dengan cara menantang pemahaman Anda. Saya tidak yakin apakah contoh ini memberikan jawaban untuk pertanyaan Anda atau tidak.

Pertanyaannya adalah apakah rasionalitas disiratkan oleh kontinuitas dan monotonisitas. Untuk menunjukkan bahwa ini bukan masalahnya, contoh tandingan akan cukup. Oleh karena itu kami mencari hubungan preferensi intransitif, tidak lengkap, monoton, berkelanjutan.

Misalkan . Dengan demikian, kami membentuk preferensi di atas titik-titik garis dari ( 0 , 1 ) hingga ( 1 , 0 ) . Pertimbangkan hubungan preferensi yang didefinisikan oleh ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ ( 0 , 1 ) ≻ ( 1 , $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$ yang tidak lengkap sebaliknya.$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

Rasionalitas

Rasionalitas terdiri dari kelengkapan dan transitivitas hubungan preferensi, yang didefinisikan sebagai berikut:

Kelengkapan

Relasi preferensi selesai, jika untuk semua , kami memiliki x ≿ y , y ≿ x , atau keduanya.$x,y \in X$$x\succsim y$$y\succsim x$

, sehingga hubungan preferensi tidak lengkap.$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$

Transitivitas

Relasi preferensi adalah transitif, jika dan y ≿ z menyiratkan x ≿ z .$x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

dan ( .5 , .5 ) ≿ ( 0 , $(1,0)\succsim (.5,.5)$ tahan tetapi ( 1 , 0 ) ≿ ̸ ( 0 , 1 ) , sehingga hubungan preferensi tidak transitif.$(.5,.5) \succsim (0,1)$$(1,0)\not \succsim (0,1)$

Kontinuitas

Relasi preferensi adalah kontinu jika untuk semua urutan konvergen ke ( x , y ) dengan ${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$ kita memiliki x ≿ y .$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

Hubungan preferensi tidak melanggar kontinuitas. Pertimbangkan urutan yang konvergen ke x , y . Urutan-urutan ini hanya dapat sedemikian rupa sehingga x i = x dan y i = y , dan x ≠ y , karena semua x i lainnya , y saya juga tidak konvergen ke x , $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$ , atau tidak memenuhi . Namun yang jelas jika x i ≿ $x_i \succsim y_i$ kemudian x ≿ y .$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

Monotonisitas

Relasi preferensi adalah monoton, jika menyiratkan x ≿ y .$x \geq y$$x \succsim y$

The hubungan menganggap semua elemen X tak tertandingi, sehingga hubungan preferensi monoton.$\geq$$X$

Dengan demikian, kami memiliki hubungan preferensi intransitif, tidak lengkap, monoton, berkelanjutan.

Transitivitas preferensi banding ke beberapa gagasan "intuitif" dari "konsistensi pikiran manusia" dan dapat dikatakan bahwa setiap pengecualian adalah "pengecualian untuk aturan ", dan jadi kami lakukan memiliki aturan abstrak yang memadai.

Sebagai perbandingan, Kelengkapan jauh lebih merupakan "lompatan iman". Itu menggantung di udara, berasal dari ketiadaan, berhubungan dengan ketiadaan ( jadi jawaban untuk pertanyaan Anda adalah tidak ) Mungkin itu dapat didukung oleh beberapa komentar vulgar bahwa "jika Anda menekan seseorang cukup, maka dia akhirnya akan memesan pasangan yang Anda akan letakkan di depannya, bahkan jika hanya untuk menyingkirkan Anda", tapi tentu saja ini, sambil melihat baik dalam praktik, tidak akan pernah berhasil secara teori.

Jadi kita hanya mendefinisikan Kelengkapan ada ... mengapa? Untuk menghindari lebih tepatnya masalah yang tidak terkendali di jalan. Seberapa bermanfaatkah bekerja dengan preferensi yang tidak lengkap? Seberapa berguna jika mengatakan "Saya memiliki model ini, ini mungkin menghasilkan, mungkin tidak, tergantung pada apakah preferensi sudah lengkap atau tidak" ... apa gunanya? Kami kemudian akan dipaksa untuk membuat aturan keputusan alternatif : "Dengan asumsi bahwa preferensi tidak lengkap, maka jika orang tersebut menemukan pasangan yang tidak dapat dia pesan ..." -dia melakukan apa ? Lempar koin? Tapi ini akan membuat "ketidaklengkapan" setara dengan ketidakpedulian ...

Apa lagi? Garis pemikiran ini mungkin sangat menstimulasi, tetapi juga sangat menantang, dan tentu saja pemecah jalur, jika memang, jalan semacam itu ada atau dapat diciptakan. (Menurut pendapat saya, berbagai eksplorasi teoretis dari varietas "fuzzy" mencoba menemukan "jalan tengah" untuk masalah ini - di mana mereka mempertimbangkan situasi di mana orang tersebut tidak memiliki preferensi penuh, juga tidak sepenuhnya "beku" ketika "sulit" "Pasangan muncul).