Mengapa derivatif digunakan untuk mewakili biaya marjinal alih-alih perbedaan?

Biaya marjinal didefinisikan sebagai "perubahan total biaya yang muncul ketika jumlah yang dihasilkan bertambah satu unit." Dan mengingat fungsi biaya total yang dapat dibedakan, biaya marjinal adalah turunannya, . Tetapi jika saya diberi dan ditanya biaya yang muncul ketika kuantitas yang dihasilkan meningkat dari 2 menjadi 3, saya hanya akan menghitung ; tidak perlu membawa kalkulus ke dalam gambar. Secara umum, . Misalnya, jika , maka , tetapi . $C(q)$ $C'(q)$ $C$ $C(3)-C(2)$ $C(3)-C(2) \neq C'(2)$ $C(q) = q^2$ $C(3)-C(2) = 5$ $C'(2) = 4$

Jadi pertanyaan saya adalah: Mengapa derivatif digunakan untuk mewakili biaya marjinal, bukan perbedaan?

Catatan: Saya pikir pertanyaan ini pasti apa yang ditanyakan di sini , tetapi ternyata tidak; di sana yang ditanyakan adalah (pada dasarnya) mengapa . $C'(3) \neq C(3)-C(2)$

mathematical-economics cost

— Quinn Culver
sumber

Jawaban:

Derivatif digunakan dalam beberapa konteks, tetapi tidak semua, ketika fungsi biaya dapat dibedakan. Dalam konteks tersebut, cenderung diasumsikan bahwa pasokan bersifat kontinyu, bukan diskrit. Ini adalah masalah konvensi dan kenyamanan analitik. Keuntungannya konsisten, baik Anda mendekati titik pasokan dari atas atau dari bawah.

Tetapi dalam konteks lain, mengingat fungsi biaya Anda, dengan anggapan bahwa benda yang disuplai terpisah dan tidak kontinu (yaitu, dimungkinkan untuk memasok 2 unit atau 3 unit, tetapi bukan 2,9 atau 3,5 atau unit fraksional lainnya) kemudian marginal biaya barang ketiga memang 5, bukan 4.

— 410 hilang
sumber

Konsep paling penting di sini adalah kenyamanan analitik. Menggunakan jumlah diskrit, MC = MR mungkin tidak memiliki nilai yang tepat. Dengan menggunakan kalkulus, Anda tiba pada nilai yang tepat. Ini memberikan solusi langsung dan tepat. Bukan solusi perkiraan.

— Jamzy

Ada fungsi yang kontinu dan dapat dibedakan dan masih mungkin memiliki titik pasokan di mana biaya marjinal tergantung pada apakah Anda mendekati titik dari atas atau bawah.

— HRSE

@HREcon dapatkah Anda memberikan contoh dunia nyata dari fungsi biaya persediaan seperti itu?

— 410 hilang

c (q) = {\begin{cases} q, & q \leq 1 \\ 2 q - 1, & q > 1 \end{cases}

$c(q)=\begin{cases} q, & q\leq 1\\ 2q-1, & q>1 \end{cases}$ kontinu dan dapat dibedakan, tetapi tidak dapat dibedakan secara kontinyu (yaitu, turunan bukan kontinu fungsi).

— HRSE

@HREcon dan itu dapat dibedakan di mana-mana kecuali q = 1

— 410 hilang

Untuk membantu Anda membedakan keduanya, mari kita coba untuk menjelaskan dengan kata-kata dan memahami informasi apa yang kita dapatkan dari turunan dan dari perbedaan, masing-masing:

Derivatif memberi Anda informasi tentang perubahan biaya relatif terhadap perubahan kuantitas yang diproduksi , dalam titik (kuantitas) lokal, spesifik ¹ . Dengan kata lain Anda mengukur perubahan biaya dalam hal perubahan kuantitas. Lebih matematis, turunan biaya sehubungan dengan kuantitas memberi Anda tingkat perubahan biaya dibandingkan tingkat perubahan kuantitas atau kemiringan kurva biaya .
Perbedaan antara dua titik (jumlah) pada kurva biaya: memberi Anda perbedaan relatif dalam harga hanya dari dua titik itu, tidak memperhitungkan semua nilai antara ² . Sekali lagi secara matematis, perbedaannya hanya memberi Anda jarak harga antara dua titik (jumlah). $C(3) − C(2) = 5$

Untuk menyimpulkan, perbedaan antara keduanya adalah informasi yang mereka berikan kepada Anda, yaitu:

turunan: tingkat perubahan biaya dalam hal kuantitas.
Perbedaan: perbedaan antara total biaya untuk dua kuantitas.

^{1. Dalam contoh Anda, biaya marginal untuk kuantitas: , mengingat fungsi biaya total: adalah: , yang berarti bahwa jika Anda memproduksi 2 item saat ini, item berikutnya akan menambah biaya dengan unit . $2$ $C(q) = q^2$ $C′(2) = 4$ $4$}

^{2. Relasi berarti bahwa total biaya untuk memproduksi 3 item adalah 5 unit lebih banyak daripada total biaya produksi 2 item . $C(3) − C(2) = 5$}

— Ziezi
sumber

Saya setuju bahwa perbedaan antara turunan dan perbedaannya adalah tingkat perubahan sesaat vs rata-rata (yang pada dasarnya adalah apa yang Anda katakan, saya pikir). Tetapi pertanyaan saya adalah mengapa definisi biaya marjinal adalah yang instan, ketika karakterisasi informal tampaknya lebih sesuai dengan rata-rata. Lihat apa yang saya maksud?

— Quinn Culver

Saya kira poin / masalah saya juga dapat dilihat sebagai ini: Saya tidak melihat perbedaan antara "jika Anda memproduksi 2 item, selanjutnya akan menambah biaya dengan ___ unit" dan "total biaya untuk memproduksi 3 item adalah ___ unit lebih dari total biaya produksi 2 item. " Kedua frasa tersebut tampaknya bersinonim, dan karenanya ___ itu harus cocok. Lihat apa yang saya maksud?

— Quinn Culver

Saya benar-benar membantu Anda dalam hal ini, mungkin saja ini masalah konvensi sederhana dalam kasus ini.

— Ziezi

Fungsi adalah non-linear, oleh karena itu laju perubahan sehubungan dengan q terus berubah. $C(q) = q^2$ $C(q)$

Ketika Anda mengambil Anda menemukan tingkat perubahan pada rentang , bukan laju perubahan pada . $\frac{C(3)-C(2)} {3-2}$ $q$ $q = 3$

Di sinilah mengambil turunan diperlukan, karena memberi Anda tingkat perubahan pada titik karena perubahan dalam mendekati , daripada rata-rata tingkat perubahan untuk setiap nilai dari . $(q,C)$ $q$ $0$ $q$ $2 \leq q \leq 3$

— Owen Sechrist
sumber

Saya tidak melihat apa penggunaan laju perubahan sesaat dari fungsi Biaya, dan, khususnya, saya tidak melihat mengapa itu bisa disebut "total biaya yang muncul ketika jumlah yang dihasilkan bertambah satu unit ", karena itulah yang jelas perbedaan . Lihat apa yang saya maksud?

C (3) - C (2)

$C(3)-C(2)$

— Quinn Culver

@ QuinnCulver Ini akan berguna dalam arti bahwa Anda dapat menghasilkan kurva biaya marjinal, kemudian gunakan kurva itu dalam model. Misalnya, memodelkan perusahaan dengan membangun kurva MC bersama dengan beberapa yang lain (ATC, AVC, D = MR) dan menetapkan ambang batas. denesp: terima kasih untuk suntingannya, saya perlu belajar bagaimana melakukannya!

— Owen Sechrist