Fungsi Produksi CES dengan

10

Dalam menggunakan fungsi produksi CES dari bentuk $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ , kami selalu menganggap bahwa $\rho\leq1$ . Mengapa kita membuat asumsi itu? Saya mengerti bahwa jika $\rho>1$ , fungsi produksi tidak akan cekung lagi (dan karenanya set produksi tidak akan menjadi cembung), tetapi apa artinya ini mengenai fungsi laba dan biaya?

— Sher Afghan
sumber

3

ρ

$\rho$ atas satu akan menghasilkan solusi sudut di mana hanya satu input dipilih dengan kuantitas positif. Karena fungsi multi-fungsi produksi biasanya untuk memodelkan keadaan di mana dua input sebenarnya digunakan, ini adalah fitur yang tidak diinginkan.

— BKay

Apakah akan ada solusi untuk masalah laba maks?

— Sher Afghan

@SherAfghan, fungsi linear dengan

ρ = 1

$\rho = 1$ tampaknya tidak berada dalam keluarga CES, karena elastisitas substitusi tidak konstan.

— garej

3

Masalah dengan adalah bahwa itu berarti produk marginal faktor tidak menurun ( ) atau konstan ( ) tetapi meningkat, yang merupakan asumsi aneh. Fungsi-fungsi tersebut menghasilkan isokuan yang cekung, dan mungkin hanya menyebabkan satu faktor yang digunakan (seperti yang dikatakan BKay). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Seperti pada CES generik apa pun, produk marginal dari faktor adalah $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

Turunan dari MP ini sehubungan dengan adalah, setelah beberapa menata ulang, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Untuk , ungkapan ini positif, yang berarti bahwa produktivitas suatu faktor meningkat karena lebih banyak faktor yang digunakan. $\rho>1$

Mengenai isokuan, Anda dapat menemukannya dengan menulis ulang fungsi produksi sebagai . Dalam CES generik, ini $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

$\rho=1$ $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

$(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Kode untuk mereproduksi gambar di sini )

— luchonacho
sumber

3

Ini adalah usaha saya untuk pertanyaan ini, tidak lengkap dan / atau salah jadi tolong bantu membuat saran dan saya akan mengedit ini.

Minimalisasi Biaya

$f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

$f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— Sher Afghan
sumber

1

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

1

Apakah solusi untuk masalah maksimalisasi laba ada juga tergantung pada struktur pasar. Masalah maksimisasi laba perusahaan monopoli biasanya masih terdefinisi dengan baik, sedangkan untuk perusahaan yang mengambil harga tidak demikian.

— HRSE

0

$\rho \geq 1$

$r$ $w$

$w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

$\pi'' >0$

Untuk melihat efek yang sama dalam contoh yang lebih sederhana ( bukan berasal dari CES), pertimbangkan ini:

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

SOC adalah . $\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

Perhatikan tetapi tidak, katakanlah, seperti biasa. Mari kita bandingkan kedua kasus untuk pada plot untuk menghargai perbedaannya. $q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
sumber