Alokasi “barang keluarga” yang adil dan efisien

8

Pertimbangkan ekonomi pertukaran dengan dua barang, mis. Perabot rumah tangga (x) dan peralatan listrik (y). Hal yang menarik tentang barang-barang ini adalah bahwa, ketika sebuah keluarga memiliki bungkusan, semua anggota keluarga menikmati bungkusan yang sama (itu seperti "klub bagus" tetapi hanya untuk keluarga).

Ada dua keluarga. Di setiap keluarga, ada anggota berbeda dengan preferensi berbeda di atas bundel. Asumsikan semua preferensi meningkat secara monoton dan benar-benar cembung.

Sebuah alokasi adalah sepasang bundel, untuk keluarga 1 dan untuk keluarga 2. $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

Alokasi disebut bebas iri jika:

Semua anggota keluarga 1 percaya bahwa setidaknya sama baiknya dengan ; $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$
Semua anggota keluarga 2 percaya bahwa setidaknya sama baiknya dengan . $(x_2,y_2)$ $(x_1,y_1)$

Alokasi disebut Pareto-efisien jika tidak ada alokasi bundel lain untuk keluarga sehingga semua anggota semua keluarga lebih suka dan setidaknya satu anggota dari satu keluarga lebih suka.

Dalam kondisi apa ada alokasi bebas iri Pareto yang efisien?

Jika setiap keluarga memiliki satu anggota, maka ada alokasi iri-efisien Pareto yang efisien; ini adalah teorema Varian yang terkenal . Apakah teorema ini digeneralisasi dari individu ke keluarga?

— Erel Segal-Halevi
sumber

Definisi iri-kecerdikan yang sangat kuat. Orang akan mengira Anda entah bagaimana akan menggabungkan preferensi terlebih dahulu dan kemudian mengklaim bahwa tidak ada kecemburuan menurut preferensi yang dikumpulkan.

— Giskard

@denesp memang, saya berpikir tentang menggabungkan preferensi, misalnya menggunakan fungsi kesejahteraan sosial. Tetapi, setiap pemilihan fungsi semacam itu akan sewenang-wenang dan tidak cukup termotivasi.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Apakah Anda ingin kami juga berasumsi bahwa utilitas masing-masing anggota setiap keluarga lemah dalam jumlah

dan

diterima keluarga mereka? Jika demikian, saya memiliki kondisi yang sangat tidak memuaskan bagi Anda di mana ada alokasi Pareto yang efisien, bebas iri, ada: Misalkan, untuk setiap keluarga, setiap anggota keluarga itu memiliki preferensi yang sama ...: P

x

$x$

y

$y$

— Shane

@Sana monotonitas lemah sepertinya asumsi yang masuk akal. Jika, di setiap keluarga, semua anggota memiliki preferensi yang sama, maka setiap keluarga sebenarnya seperti agen tunggal, jadi kami kembali ke pengaturan standar ...

— Erel Segal-Halevi

Bagaimana dengan kasus di mana

dan

? Dengan asumsi monotonisitas lemah, maka ini harus Pareto dan bebas iri. Dari sana, kita mungkin bisa membuat beberapa perubahan epsilon kecil?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kitsune Cavalry

2

Saat ini saya tidak yakin tentang kesetaraan pelabelan ulang, dan karena itu kegunaan dari jawaban ini - lihat komentar di bawah.

Ini adalah awal dari jawaban dan upaya untuk menunjukkan seberapa kuat asumsi yang diperlukan untuk menjamin keberadaan.

Mari kita ubah masalah menjadi masalah yang setara tetapi sedikit lebih mudah untuk dikerjakan. Alih-alih mengindeks keluarga, mari kita mengindeks agen (anggota keluarga). Kunci dari pelabelan ulang ini adalah memahami bahwa keluarga dapat ditulis sebagai kendala: Jika agen dan milik keluarga yang sama, maka dan . $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

Sekarang kita kembali ke lingkungan standar dengan agen individual (bukan keluarga) tetapi dengan kendala keluarga ini. Ingat bukti teorema Varian, yang Anda tautkan dalam pertanyaan. Ia menggunakan keberadaan keseimbangan kompetitif dari pendapatan yang sama. Dalam konteks ini, kita akan membutuhkan keberadaan keseimbangan kompetitif dari pendapatan yang sama di mana kendala keluarga juga terpenuhi. Ini akan sangat sulit dilakukan. Misalnya, anggap dan berada dalam keluarga, dan $i$ $j$ mana kecil. Preferensi ini monotonik dan cembung. Pada dasarnya, satu anggota keluarga peduli dengan dan yang lain peduli tentang . Jika masing-masing dari kedua agen membeli dan untuk memaksimalkan utilitasnya, Anda tidak akan mengharapkan atau dalam keseimbangan kompetitif (lihatlampirandi akhir).

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

Inilah sebabnya mengapa Anda tentu perlu asumsi tentang kesamaan preferensi dalam keluarga (setidaknya untuk menggunakan versi bukti Varian). Perasaan saya adalah bahwa jika Anda memberi saya perbedaan kecil yang sewenang-wenang dalam preferensi antara anggota keluarga, saya dapat membuat contoh di sekitarnya di mana tidak ada CEEI di mana mereka memilih alokasi yang sama. Dan kemudian, paling tidak, Anda tidak dapat menggunakan bukti Varian.

Dua pertanyaan:

Apakah Anda setuju bahwa rumusan masalah saya secara formal setara dengan Anda?
Dapatkah Anda memikirkan asumsi yang lebih lemah daripada mengasumsikan homogenitas preferensi dalam keluarga yang dapat saya coba batal dengan contoh tandingan?

Tambahan: Ingatlah bahwa dalam keseimbangan kompetitif, tingkat substitusi marjinal setiap agen (MRS) sama dengan rasio harga. Di sini, agen saya memiliki MRS yang konstan dan berbeda, sehingga tidak ada keseimbangan kompetitif dengan rasio harga yang sama dengan kedua MRS mereka. Jika setiap agen memiliki MRS yang bervariasi, maka mungkin mereka bisa sama dengan rasio harga ekuilibrium. Jadi mungkin Anda bisa lolos dengan beberapa gagasan tentang homogenitas lokal dari preferensi keluarga. Tetapi Anda harus membuatnya secara lokal homogen pada keseimbangan kompetitif, yang persis seperti yang Anda coba buktikan ada, sehingga akan sedikit melingkar.

Catatan penting: Seperti yang disebutkan sebelumnya, saya berasumsi bahwa satu-satunya cara untuk membuktikan keberadaan adalah bagaimana Varian melakukannya, melalui CEEI. Mungkin ada teknik bukti lain yang menutupi masalah ini, tapi saya kira tidak.

$i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ Jika ini tidak benar, akan ada peningkatan Pareto. Ekuilibrium kompetitif pada dasarnya menyamakan MRS melalui rasio harga, tetapi Anda masih perlu menyamakan MRS ini hanya untuk menemukan alokasi Pareto yang efisien. Saya pikir kendala keluarga akan membuat ini sangat sulit - tidak sulit untuk menemukan lingkungan dan kendala keluarga sehingga tidak ada keseimbangan efisien Pareto yang memenuhi kendala tersebut. Bagaimanapun, ini bisa menjadi langkah parsial menuju jawaban: Lupakan iri hati. Pertama-tama cobalah membuat asumsi tentang preferensi (dan mungkin pada kendala keluarga) yang menjamin adanya alokasi efisien Pareto yang memenuhi kendala keluarga. Kemudian khawatir tentang iri hati.

— Shane
sumber

1

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

1

Saya menemukan dalam makalah asli Varian: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 bukti keberadaan alokasi PEEF, yang tidak bergantung pada CEEI dan jadi valid bahkan dalam situasi di mana CEEI tidak ada (preferensi tidak sangat cembung). Sejauh ini, saya belum berhasil memahami bukti-bukti ini, tetapi mereka mungkin relevan.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Dalam contoh Anda, alokasi apa pun di mana kedua agen mendapatkan jumlah barang yang benar-benar positif kedua Pareto tidak efisien, bukan? Saya berusaha memahami rentang Anda. Secara umum, saya setuju dengan Anda. Saya telah menambahkan bagian tambahan untuk membuktikan PEEF secara langsung (tanpa CEEI). Saya tidak berpikir Anda akan merasa sangat memuaskan, tapi itu semua sudah jelas bagi saya saat ini.

— Shane

1

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , bukan 2. Sekarang saya mempertanyakan kesetaraan pelabelan ulang. Keluarga bukan hanya kendala (dalam hal orang harus berbagi barang yang sama), mereka juga mendapat manfaat, karena barang itu bersifat publik / dibagi dalam keluarga.

— Shane

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Misalkan vektor endowmen total dan adalah . $X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

Untuk setiap , tentukan . $\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

Periksa bahwa jika , maka dan adalah alokasi bebas iri efisien Pareto, dan di sisi lain jika , lalu dan iri efisien Pareto alokasi. $\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— Amit
sumber

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Semua anggota keluarga Anda memiliki MRS yang lebih tinggi daripada semua anggota keluarga V.

— Amit

Saya pikir untuk 2 keluarga dan preferensi linier, persyaratan ini dapat dihapus. Saya masih harus mengerjakan detailnya.

— Erel Segal-Halevi

Saya pikir ini akan sulit untuk menghapus persyaratan ini karena kami ingin alokasi menjadi iri gratis. Kondisinya mungkin tidak terlihat rapi meskipun itu santai. Tetapi hasil ini berlaku untuk kelas fungsi utilitas yang lebih besar. Ini akan menjadi ide yang bagus untuk memperluas hasil untuk memasukkan preferensi dari tipe lain. Sebagai contoh: Sebuah versi juga dapat dibuktikan untuk preferensi Cobb Douglas.

— Amit

1

Misalkan preferensi semua agen di semua keluarga adalah monoton dan cembung (asumsi standar teori konsumen).

Kemudian, alokasi iri-bebas Pareto yang efisien selalu ada ketika ada dua keluarga. Namun, itu mungkin tidak ada ketika ada tiga atau lebih keluarga.

Bukti dan contoh dapat ditemukan di kertas kerja ini .

— Erel Segal-Halevi
sumber

-2

Pernyataan masalah tampaknya menyiratkan bahwa X dan Y tidak dapat menjadi pengganti (perangkat listrik tidak dapat digunakan sebagai furnitur rumah).

Alokasi bebas iri Pareto yang efisien ada saat:

Untuk setidaknya satu agen, setidaknya beberapa barang memiliki utilitas negatif atau komplemen, dan agen dapat memilih untuk tidak mengkonsumsi.

Contoh:

Agen A dan B berada di keluarga F1.
Fungsi utilitas agen A adalah:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

Fungsi utilitas agen B adalah:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

Agen C dan D ada dalam keluarga 2.
Agen C memiliki fungsi utilitas:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

Agen D memiliki fungsi utilitas:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Larutan:

F1 lebih suka (X1, Y1) dan agen A akan memilih untuk tidak mengkonsumsi barang apa pun.

F2 lebih suka (X2, Y2) dan agen C memilih untuk tidak mengkonsumsi barang.

Ini benar-benar argumen semantik dan tidak ada keseimbangan yang berarti tanpa mengasumsikan preferensi bersama.

— DJ Sims
sumber

Bisakah Anda membuat pernyataan Anda lebih tepat? Misalnya, apa yang dimaksud dengan "komplemen negatif"? Dan tolong tawarkan setidaknya argumen heuristik yang mendukung klaim, jika bukan bukti lengkap, sehingga kami dapat memahami alasan Anda.

— Shane

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

Diedit jawabannya. Anda benar pada poin kedua. Jika agen diharuskan untuk mengkonsumsi maka argumen tidak berlaku.

— DJ Sims