Bagaimana gaya beban memengaruhi inersia beban?

9

Saya mencoba mensimulasikan winch sebagai motor yang diatur kecepatannya yang bekerja melalui gearbox untuk mengangkat massa. Output dari gearbox adalah drum, yang berputar untuk mengakumulasi kabel.

Aku merasa nyaman mengkonversi massa untuk momen inersia dan saya juga merasa nyaman dengan mengkonversi bahwa momen inersia (output-side) ke momen inersia "dilihat" oleh motor (input-side) dengan rasio gearbox . Dengan simulasi sederhana, saya tidak punya masalah menulis persamaan gerak.

Komplikasi saya muncul ketika saya ingin memodelkan "stretch" pada kabel. Saya pikir saya bisa melakukan ini dengan hanya meletakkan pegas kekakuan yang sewenang-wenang antara winch drum dan massa, seperti yang digambarkan di bawah ini.

Dengan model ini, demi simulasi, saya berasumsi saya tahu "tinggi drum", yang akan menjadi seberapa jauh drum telah berubah dikalikan dengan jari-jari drum, dan ketinggian beban. Kekuatan pegas akan menjadi $k(\phi r - y)$ , tetapi bagaimana saya menerapkan ini ke motor ?

Saya punya model motor:

\frac{Θ}{V} = \frac{K_{T}}{R_{a} J s + K_{T} K_{b}}

$\frac{\Theta}{V} = \frac{K_T}{R_a Js+K_T K_b}$ dan model pengontrol PI:

\frac{V}{Θ_{error}} = \frac{k_{p} (s + \frac{k_{i}}{k_{p}})}{s}

$\frac{V}{\Theta_\mbox{error}} = \frac{k_p \left(s + \frac{k_i}{k_p} \right)}{s}\\$ dimana

Θ

$\Theta$ adalah kecepatan motor,

V

$V$ adalah tegangan terminal,

J

$J$ adalah inersia beban dan mesin, dan

R_{a}

$R_a$ ,

K_{T}

$K_T$ , dan

K_{b}

$K_b$ masing-masing adalah tahanan armature motor, torsi konstan, dan konstanta EMF belakang.

Interaksi yang saya tertarik pelajari terjadi ketika kontroler PI disetel ke inersia beban yang diantisipasi $J$ , yang akan ditemukan dengan motor, gearbox, drum, dan beban massa, tetapi sistem sebenarnya "melihat" massa kenyal.

Penyederhanaan dilakukan dengan mengatur $k_i/k_p$ rasio sama dengan $K_TK_b/R_aJ$ , memberi:

\frac{Θ}{Θ_{error}} = \frac{V}{Θ_{error}} \frac{Θ}{V} = (\frac{k_{p} (s + \frac{K_{T} K_{b}}{R_{a} J})}{s}) (\frac{\frac{K_{T}}{R_{a} J}}{s + \frac{K_{T} K_{b}}{R_{a} J}})

$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{V}{\Theta_{\mbox{error}}}\frac{\Theta}{V} = \left( \frac{k_p \left( s + \frac{K_TK_b}{R_aJ} \right) }{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{s+\frac{K_T K_b}{R_aJ}} \right)$

(Catatan saya bisa pergi $k_p$ sebagai variabel karena rasio $k_i/k_p$ dapat diatur ke apa pun yang saya inginkan via $k_i$ selama $k_p$ bukan nol.)

Jadi, di dunia yang ideal , di mana nilai inersia "total" $J$ diketahui sebelumnya, kutub dibatalkan, dan seluruh sistem berkurang menjadi:

\frac{Θ}{Θ_{error}} = (\frac{k_{p}}{s}) (\frac{\frac{K_{T}}{R_{a} J}}{1})

$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \left( \frac{k_p}{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{1} \right) \\$

\frac{Θ}{Θ_{error}} = \frac{1}{\frac{R_{a} J}{k_{p} K_{T}} s}

$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s}$

Akhirnya, $\Theta_{\mbox{error}} = \Theta_{\mbox{ref}} - \Theta_{\mbox{out}}$ , jadi, dengan aljabar:

\frac{Θ_{out}}{Θ_{ref}} = \frac{1}{\frac{R_{a} J}{k_{p} K_{T}} s + 1}

$\boxed{\frac{\Theta_{\mbox{out}}}{\Theta_{\mbox{ref}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s + 1}}$

Jadi, agak menyesal dengan shotgun begitu detail, tetapi saya ingin mengesankan pada siapa pun yang membaca bahwa saya merasa yakin dengan semua langkah saya sejauh ini dan bahwa saya telah menghabiskan banyak upaya untuk mengatasi masalah ini. Sekarang, lagi untuk pertanyaan saya - saya ingin mensimulasikan peregangan di kabel antara drum dan beban, tapi saya tidak yakin bagaimana menggunakan gaya pegas untuk memodulasi inersia beban.

Satu pemikiran yang saya miliki adalah mencoba memalsukan "massa setara", dengan mengasumsikan:

F = m_{equivalent} a m_{equivalent} = \frac{F_{spring}}{a}

$F = m_{\mbox{equivalent}}a \\ m_{\mbox{equivalent}} = \frac{F_{\mbox{spring}}}{a} \\$

tetapi ini terasa tidak benar, dan saya tidak yakin apa yang akan saya gunakan untuk akselerasi $a$ .

Saya frustrasi sejauh ini dalam masalah dan menjadi bingung dengan apa yang tampaknya menjadi masalah yang mudah, tetapi saya benar-benar tidak bisa memikirkan cara untuk mendekati masalah ini. Saya pikir jika saya bisa membingkainya dengan benar, saya bisa mengerjakan mekanika, tapi itu konversi paksa ke inersia yang saya rasa perlu dibuat yang membuat saya bingung.

Akhirnya, sebagai catatan, saya juga telah mencoba melacak kembali model motor saya untuk memasukkan torsi beban. Ini memberikan hasil yang tampaknya masuk akal, tetapi pada akhirnya saya mengurangi torsi beban dari torsi motor untuk mendapatkan torsi neto, kemudian menerapkan torsi net ke total inersia untuk mendapatkan akselerasi motor. Itu memberi makan di telepon dan, sekali lagi, saya tidak yakin bahwa saya memperlakukan inersia total dengan benar.

— Membuang
sumber

Saya awalnya memposting ini ke fisika, tetapi satu-satunya tanggapan adalah dua komentar yang menyarankan saya tanyakan di sini. Saya telah menghapus pertanyaan di sana untuk menghindari posting silang.

— Chuck

Konstanta pegas dapat dimodelkan menggunakan kekakuan kabel (modul Young), untuk beban yang diberikan, kabel akan meregang lebih banyak jika dibuka gulungan untuk panjang yang lebih panjang. Ini akan membuat pegas "konstan" secara kasar berbanding terbalik dengan panjang kabel yang tidak terbuka. Namun ketegangan ini juga harus ditransfer ke drum, sehingga ketegangan ini juga akan hadir untuk beberapa perpanjangan kabel yang digulung ke drum.

— fibonatic

@fibonatic - Itulah rencananya. Ketegangan "tersimpan" dalam drum dapat menciptakan semacam histeresis atau efek memori. Itu seharusnya tidak terlalu sulit untuk model tetapi, sekali lagi, titik tertentu saya terjebak pada saat ini adalah menentukan bagaimana menghitung inersia total sistem. Saya tidak berpikir saya bisa menggunakan massa beban secara langsung, tapi saya tidak yakin bagaimana memodulasi dengan pegas (atau defleksi pegas).

— Chuck

6

Pertama mari kita menghitung modelnya. Desain kontrol adalah upaya terpisah.

Torsi yang diterapkan pada drum adalah $n T_M$ , di mana n adalah rasio roda gigi dan $T_M$ adalah output yang dihasilkan oleh motor. $T_M= K_T i(t)$ dimana $K_T$ adalah konstanta proporsionalitas dan $i(t)$ adalah arus motor.

Sekarang kita dapat menulis persamaan untuk sistem mekanik:

m y^{″} (t) + m g - k (y (t) - r θ (t)) = 0

$m y''(t)+m g-k (y(t)-r \theta (t))=0$

J θ^{″} (t) + k r (y (t) - r θ (t)) = n K_{T} i (t)

$J \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n K_T i(t)$

Di sini m adalah massa dan k adalah konstanta pegas.

Untuk menulis persamaan motor, kita perlu menentukan ggl kembali. Ggl belakang sebanding dengan kecepatan motor dan untuk menuliskannya dalam hal kecepatan gendang, kami mengalikannya juga dengan rasio gigi n.

L i^{'} (t) + R i (t) + n K_{b} θ^{'} (t) = V (t)

$L i'(t)+R i(t)+n K_b \theta '(t)=V(t)$

Sini $V(t)$ adalah tegangan yang diberikan, $L$ adalah induktansi, $R$ adalah perlawanan, dan $K_b$ adalah konstanta proporsionalitas.

Tiga persamaan ini ada $V(t)$ sebagai input dan $i(t)$ , $\theta (t)$ , dan $y(t)$ sebagai status / keluaran. Ini dapat digunakan untuk mendapatkan model keadaan-ruang atau model fungsi-transfer. (Berikut ini diperoleh dengan menggunakan Mathematica)

Sekarang desain kontrol dapat dimulai ...

Memperbarui

Karena ada beberapa kebingungan tentang kelembaman yang akan digunakan, izinkan saya mengklarifikasi jawabannya. Saya akan mengasumsikan satu set roda gigi di gearbox - gigi dengan inersia $J_1$ di sisi drum dan gigi dengan inersia $J_2$ di sisi motor.

Dalam jawaban di atas saya mengabaikan inersia roda gigi. Satu-satunya perubahan yang perlu dilakukan sekarang adalah memodifikasi persamaan kedua sebagai berikut.

(J + J_{1}) θ^{″} (t) + k r (y (t) - r θ (t)) = n i (t) K_{T}

$\left(J+J_1\right) \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n i(t) K_T$

Jika persamaan untuk menggambarkan dinamika transien poros motor juga diinginkan maka itu adalah persamaan tambahan yang melibatkan $\theta_M$ (Rotasi poros motor), inersia $J_2$ , dll. Namun, ini tidak perlu jika tujuannya adalah untuk mengontrol posisi drum.

— Suba Thomas
sumber

Ini adalah jawaban yang bagus, tetapi apa yang khusus Anda gunakan sebagai

J

$J$ dalam persamaan torsi motor Anda? Hanya inertias motor / gearbox / drum?

— Chuck

1

Persamaan torsi yang saya tulis hanya untuk drum.

J

$J$ adalah inersia drum. (Dapat dibuat lebih rumit dengan mengatakan bahwa inersia bervariasi karena kabel sedang terluka, kabel tidak bermassa, dll. Tapi, saya pikir asumsi saat ini tidak akan bermasalah.)

— Suba Thomas

@ Chuck, itu hadiah yang cukup besar. Terima kasih!

— Suba Thomas

Bukan masalah; pertanyaan saya sudah lama mengganggu saya. Jawaban Anda menegaskan kepada saya bahwa saya perlu kembali "ke dasar" - Diagram benda bebas. Saya melihat sekarang bahwa pertanyaan (dan cara berpikir saya) cukup salah arah. Bayangkan jika saya bertanya bagaimana saya bisa memperlakukan hambatan pada pesawat terbang sebagai inersia yang bergantung pada kecepatan untuk pesawat? Sungguh, itu adalah pertanyaan konyol - kekuatan adalah kekuatan dan massa (atau inersia) tidak. Mereka terkait, tetapi tidak dapat dipertukarkan. Terima kasih sekali lagi untuk penyegaran dinamika!

— Chuck

4

Regangkan di delta pegas $Y = A.sin(\omega.t) = A.sin\sqrt(k/m) . t$ Jadi delta Y tidak konstan tetapi jika Anda tertarik pada delt Y_max

delta $Y max = m/k$ , oleh hukum Hooks.
Karena sistem Anda tidak berakselerasi kecuali di awal dan akhir dengan asumsi katrol mulai dan berhenti tiba-tiba itu yang Anda maksimal. Akselerasi start / stop bertahap harus dikurangi dari akselerasi pegas yang ada
$- \omega^2 . t$
$\omega = \sqrt(k/m)$

melihat diagram benda bebas massa
Seperti yang Anda catat adalah gaya $K(\phi.r - y)$

$m.dx^2/dt^2 = -K(\phi.r-r)$
bagi kedua belah pihak dengan K kita dapatkan:

$m/K.dx^2/dt^2 +\phi.r=y$

$\omega^2.dx^2/dt^2 +\phi.r =y$

Saya harap ini akan membantu.

— kamran
sumber

Saya tidak tertarik pada analisis statis - ini adalah sistem dinamis yang saya coba simulasikan. Saya juga tidak tertarik dengan peregangan musim semi; Saya dapat menghitung bahwa jika saya dapat dengan benar memperbarui akselerasi motor. Masalah saya adalah menentukan akselerasi motor. Harus

τ_{net} / J

$\tau_{\mbox{net}}/J$ , tapi apa beban inersia saat pegas disertakan? Itulah inti dari pertanyaan saya. Tanpa pegas, seperti yang terlihat oleh motor, beban inersia adalah

m r^{2} {GB}^{2}

$mr^2\mbox{GB}^2$ . Bagaimana cara saya menggabungkan pegas?

— Chuck

Saya akan mengedit jawaban saya dan mencoba untuk setidaknya mengatur sistem untuk getaran eksitasi Base.

— kamran

@Chuck Saya pikir yang ini dengan sedikit modifikasi akan menjadi apa yang Anda cari. Getaran Paksa: math.ubc.ca/~israel/m215/forced/forced.html -Lihat kasus ketiga di mana gaya adalah dengan menggerakkan dukungan ke atas dan ke bawah.

— kamran

Jika Anda tidak ingin respons dinamis ketika sistem telah melewati start up dan distabilkan menjadi gerakan harmonis tetapi tertarik untuk melihat bagaimana responsnya pada waktu sementara ketika drum mulai berputar, Anda ingin menggunakan integral Duhamel. Itu memecah kekuatan pegas menjadi kecil, dx, panjang dengan impuls mereka yang bekerja pada sistem dan kemudian diintegrasikan dari waktu ke waktu. Integral ini disebut konvolusi integral dan Matlab memilikinya.

— kamran

2

Saya menyadari ini adalah utas lama, dan saya tidak yakin seberapa dalam penyelaman Anda akhirnya mengambil ini, tapi satu hal yang saya tidak lihat diperhitungkan dalam persamaan Anda adalah gesekan drum / kabel. Ini akan menjadi kecil, dan seperti massa akumulasi dari tali kawat baja yang tidak Anda sertakan, mungkin tidak ada dalam daftar Anda. Kabel dapat direntangkan dan dimuat sebelumnya, namun setiap pergerakan antara kabel dan drum karena peregangan kabel juga akan mengalami gesekan. Dalam industri saya (rigging teater, desain panggung mesin), alur kontak area yang lebih besar daripada aplikasi drum datar, dan kami biasanya memiliki gesekan tambahan sepanjang berkas pengalihan dan bagal dalam garis untuk memperhitungkan terutama dalam 2: 1 atau 4: 1 sistem keunggulan mekanis.

— Eggy
sumber

Ini saran yang bagus, terima kasih. Apakah Anda memiliki referensi desain atau teks lain yang dapat Anda tautkan? Saya bertanya-tanya secara khusus tentang buku pegangan perdagangan atau yang serupa. Terima kasih lagi!

— Chuck

Ada beberapa buku khusus perdagangan, tetapi sebagian besar semuanya adalah teknik mesin atau fisika, jadi desain mesin yang sama dan referensi serupa. Hal-hal seperti Cat-0 E-Stops yang memperhitungkan penggunaan motor rantai dan tali truss, tipikal acara live atau konser rock, adalah umum dalam instalasi pertunjukan sementara dan permanen. Saya telah merancang derek untuk efek panggung, kecepatan perdagangan untuk kapasitas pengangkutan atau sebaliknya, tetapi ini semua dalam teknik mesin atau matematika terapan.

— Eggy

Ah oke, saya punya semua itu lol. Selalu mencari buku pegangan yang bagus, :)

— Chuck

1

Saya pikir pendekatan Suba Thomas memberikan model yang baik: mulai dengan jumlah gaya pada beban dan jumlah momen pada drum. Kemudian tentukan model motor yang dibutuhkan.

Model motor awal chuck membutuhkan sistem yang kaku di mana nilai tunggal untuk momen inersia dapat dihitung, sedangkan tujuan dari model ini adalah:

Interaksi yang saya tertarik pelajari terjadi ketika kontroler PI disetel ke inersia beban yang diantisipasi $J$ , yang akan ditemukan dengan motor, gearbox, drum, dan beban massa, tetapi sistem sebenarnya "melihat" massa kenyal.

Satu catatan tentang inersia dalam persamaan momen drum dari Suba Thomas: Jangan lupa inersia motor meningkat ke drum. Tergantung pada motor yang dipilih, pengaruhnya bisa signifikan. Jadi saya akan memilih $J = J_{motor} * i^2 + J_{drum}$

— jos
sumber

Dalam model (dalam jawaban saya), kelembaman motor ditangkap oleh variabel saat ini. Apa yang diabaikan adalah efek dari roda gigi. Mohon lihat jawaban saya yang diperbarui.

— Suba Thomas