Prinsip Kerja Virtual vs Teorema Castigliano (Kedua)

Saya telah melihat secara online dan ke beberapa literatur tetapi saya tampaknya tidak menemukan perbandingan yang bagus untuk dua metode yang berbeda. Keduanya digunakan untuk menentukan perpindahan dan kemiringan (rotasi oleh theta) pada suatu titik dalam sebuah kontinum. Mantan menggunakan kekuatan satuan virtual yang sama dengan energi regangan dalam elemen (ketika dikalikan dengan perpindahan minat) dan yang terakhir menggunakan diferensial sehubungan dengan gaya virtual yang cenderung nol.

Mana yang lebih efisien dan mana yang lebih akurat? Mengapa seseorang memilih Virtual Work daripada Castigliano atau sebaliknya?

— thephysicsguy
sumber

Keduanya "akurat" dalam pengertian matematika, tetapi dalam praktiknya biasanya ada beberapa perkiraan yang dilakukan untuk menemukan tegangan internal, regangan, dan energi regangan. (Contoh sederhana: Teori balok Euler-Timoshenko tidak "akurat" untuk struktur rekayasa nyata apa pun!)

— alephzero

Ya saya bertanya-tanya mana yang terbukti lebih praktis dan lebih efisien dalam analisis. Dari apa yang saya ketahui perangkat lunak FE (misalnya: ANSYS) tampaknya menggunakan pekerjaan virtual dan saya rasa itu masuk akal karena Anda tidak perlu diferensiasi numerik seperti yang Anda lakukan dengan Catigliano yang mungkin menjadi salah satu alasannya. Hanya ingin tahu untuk alasan apa yang akan menguntungkan satu di atas yang lain. Adapun balok, saya sadar bahwa balok Euler-Bernoulli cukup populer dan Euler-Timoshenko tampaknya tidak berfungsi untuk balok panjang meskipun saya telah mendengar bahwa balok digunakan dalam getaran dengan beberapa penyesuaian yang membuatnya menjadi perkiraan yang lebih baik.

— thephysicsguy

Saya tidak mendapatkan kesan bahwa teorema castigliano berlaku di luar mekanika solid. Pekerjaan virtual, di sisi lain, meluas ke banyak model pde lainnya, seperti konduksi panas dan bahkan aliran fluida.

— Paul

Baiklah, mari kita simpan itu dalam mekanika padat. Teorema Castigliano diciptakan oleh seorang insinyur kereta api. Jadi dalam hal analisis struktural mana yang berkinerja lebih baik dan mengapa? Mekanika fluida dan perpindahan panas sangat berbeda secara bersama-sama dan mereka biasanya tidak menggunakan metode energi dengan cara ini, yang lebih menarik di area tersebut adalah persamaan medan dan solusi yang bijak. Meskipun ya pemecah numerik mungkin masih menggunakan pekerjaan virtual saya kira, tidak yakin.

— thephysicsguy

Jawaban Singkat: Castigliano memberikan solusi tepat yang cepat pada beberapa titik kunci dalam struktur kompleks yang besar, sementara pekerjaan virtual memberikan model perkiraan yang dapat digunakan untuk sistem kompleks yang jika tidak akan dapat dipecahkan.

Teorema dan karya virtual Castigliano adalah dua sisi dari mata uang matematika yang sama. Metode Castigliano mendahului pekerjaan virtual, tetapi memulai prinsip-prinsip dasar kerja virtual. Ini membentuk setengah dari pekerjaan virtual yang lebih sederhana, di mana perpindahan dapat diselesaikan melalui analisis linear, tetapi kami menggunakan pekerjaan virtual untuk mendapatkan jawabannya lebih cepat. Pekerjaan virtual dijelaskan untuk paruh kedua, di mana kami tidak dapat menyelesaikan perpindahan dengan analisis linier (tanpa menyelesaikan persamaan diferensial dan melempar banyak koefisien), dan kami mengandalkan pekerjaan virtual sebagai gantinya untuk menemukan jawaban perkiraan yang bagus yang cocok dengan banyak kondisi batas.

Seperti yang dinyatakan di atas, di sebagian besar aplikasi apa yang digunakan insinyur untuk metode Castigliano, prinsip utamanya adalah menggunakan apa yang diketahui dari balok elastis linier atau teori rangka (dapat digunakan dalam berbagai aspek untuk struktur ini), dan dengan cepat menyelesaikan untuk suatu struktur. mengalami kekuatan yang sangat tidak biasa. Sebuah persamaan untuk pasukan ditulis dalam hal banyak pasukan tak dikenal dari struktur statis determinate, dan kemudian pasukan tak dikenal dihapus. Salah satu gaya yang tidak diketahui (atau tidak biasa, tetapi diketahui) diterapkan, dan model linier dan tabeldigunakan untuk gaya tunggal dapat dengan cepat memberi tahu kami perpindahan aktual di berbagai titik dalam struktur. Gaya tunggal dapat menghasilkan 500 gaya Newton pada titik reaksi per gaya baru Newton, atau 5 gaya Newton. Ini direkam. Gaya yang tidak diketahui dihilangkan, dan gaya baru ditambahkan, dan diuji. Setelah semua reaksi dan gaya ini ditemukan, metode Castigliano kemudian dapat memecahkan apa defleksi akhir untuk seluruh kondisi beban, yang mungkin tidak ditemukan dalam tabel kondisi beban yang dipecahkan. Ini sangat berguna dalam kasus di mana ada dukungan elastis, mendukung yang membelokkan berdasarkan berapa banyak kekuatan yang mereka terapkan, yang terjadi dalam sistem nyata. Satu-satunya batasan pada pendekatan ini adalah seberapa rinci tabel tersebut, dan prinsip superposisi. Selama sistem dapat diperlakukan menggunakan superposisi,

Prinsip kerja virtual melampaui prinsip ini - idenya adalah hanya menulis persamaan untuk perpindahan dengan koefisien yang tidak diketahui. Ini bisa menjadi solusi bagi DE yang memerintah, atau bisa juga benar-benar tidak akurat, tetapi harus mampu menyelesaikan semua kondisi batas (pada titik A, perpindahan adalah 0, dll). Untuk balok, mengambil turunan kedua dari persamaan perpindahan menghasilkan persamaan momen, mengambil hasil ketiga dalam persamaan geser. Untuk pelat dan kontinum lainnya, perpindahan adalah regangan kali panjangnya. Setiap istilah stres dapat ditulis sebagai tensor kekakuankali regangan, sehingga seluruh pekerjaan virtual dapat diekspresikan hanya dalam hal persamaan perpindahan kami yang tidak diketahui, pada prinsipnya. Oleh karena itu, pekerjaan ini hanya untuk memecahkan koefisien yang tidak diketahui sehingga meminimalkan kerja virtual (baik dalam energi potensial untuk sistem statis, atau jumlah energi potensial dan energi kinetik untuk sistem dinamis).

Contoh dari ini sering diberikan dengan persamaan yang digunakan untuk analisis elemen hingga, di mana alih-alih persamaan perpindahan kuartik yang normal, persamaan kubik digunakan untuk perpindahan. Ini karena kita memiliki paling banyak dua derajat kebebasan untuk rotasi, dan dua derajat kebebasan untuk perpindahan, sehingga yang paling kita dapat miliki adalah empat koefisien yang tidak diketahui - persamaan kubik. Perhatikan ini berarti bahwa FEA perlu membagi beban terdistribusi menjadi beban titik yang memungkinkan persamaan kubik untuk memiliki defleksi sama dengan yang sama dengan kuartik asli. Inilah yang menyebabkan elemen tunggal tidak menunjukkan defleksi rentang menengah yang sama dengan kuartik asli:

Bahkan tanpa superposisi, prinsip kerja virtual masih berlaku, selama tensor kekakuan Anda menyebabkan perubahan stres sehubungan dengan ketegangan. Ini mungkin memerlukan persamaan tegangan yang tidak diketahui independen , untuk digunakan sebagai pengganti tensor kekakuan. Variasi jenis ini digunakan di banyak bidang oleh para insinyur yang perlu membuat model matematika dari sistem mereka, yang membentuk dasar untuk hampir semua metode elemen hingga. Singkatnya, Castigliano memberikan solusi tepat yang cepat pada beberapa titik kunci dalam struktur kompleks yang besar, sementara pekerjaan virtual memberikan model perkiraan yang dapat digunakan untuk sistem kompleks yang jika tidak akan terpecahkan.

— Menandai
sumber

akankah pemisahan ringkasan ke paragraf terpisah membantu?

— joojaa

Topik ini bagus untuk wiki.

— Katarina

@ Katina - Saya setuju. Dari 10 tahun saya, ini akurat, tetapi yang lain mungkin memiliki perspektif berbeda tentang perbedaan antara keduanya. Ini subjek yang kompleks.

— Markus