Deskripsi kecepatan Euler dan Lagrangian


1

Saya merasa seolah-olah saya memahami perbedaan konseptual antara deskripsi Lagrangian dan Euler. Tapi sepertinya saya tidak bisa mengikuti matematika. Saya punya satu contoh yang saya akan sangat menghargai penjelasan atau perhitungan penuh untuk

Gerakan tersebut dapat dinyatakan sebagai:   $$ \ kiri \ {\ begin {align} x_1 (X_1, X_2, X_3, t) & amp; = X_1 \\ x_2 (X_1, X_2, X_3, t) & amp; = X_2 + \ dfrac {X_2 v_0 t} {h_0} \\ x_3 (X_1, X_2, X_3, t) & amp; = X_3 \\ \ end {align} \ kanan. $$   kecepatan dalam deskripsi Lagrangian:   $$ v_i = \ begin {bmatrix} 0 \\ \ kiri (\ dfrac {X_2v_0} {h_0} \ kanan) \\ 0 \ end {bmatrix} $$   dalam uraian Euler:   $$ v_i = \ begin {bmatrix} 0 \\ \ kiri (\ dfrac {x_2v_0} {h_0 + v_0 t} \ kanan) \\ 0 \ end {bmatrix} $$

Saya sepenuhnya mendukung kecepatan dalam deskripsi Lagrangian. Saya tidak bisa seumur hidup mencari tahu bagaimana deskripsi Euler dihitung atau mengapa.

Bisakah seseorang menunjukkan kepada saya bagaimana deskripsi kecepatan Euler dihitung?

Jawaban:


3

Gerakannya adalah $$   x = \ varphi (X, t) \ quad \ leftrightarrow \ quad X = \ varphi ^ {- 1} (x, t) $$ Kecepatan Lagrangian adalah $$  V (X, t) = \ dot {\ varphi} (X, t) = \ frac {\ partial \ varphi (X, t)} {\ partial t} $$ Kecepatan spasial (Euler) didefinisikan sebagai $$   v (x, t) = V (\ varphi ^ {- 1} (x, t), t) = \ dot {\ varphi} (\ varphi ^ {- 1} (x, t), t) = \ frac {\ partial \ varphi (\ varphi ^ {- 1} (x, t), t)} {\ partial t} $$ Dalam kasus Anda $$   \ varphi (X, t) = \ begin {bmatrix} X_1 \\ \ frac {h_0 + v_0 t} {h_0} X_2 \\ X_3 \ end {bmatrix} \ quad \ menyiratkan \ quad   V (X, t) = \ begin {bmatrix} 0 \\ \ frac {v_0} {h_0} X_2 \\ 0 \ end {bmatrix} $$ dan $$   \ varphi ^ {- 1} (x, t) = \ begin {bmatrix} x_1 \\ \ frac {h_0} {h_0 + v_0 t} x_2 \\ x_3 \ end {bmatrix} \ quad \ menyiratkan \ quad   v (x, t) = V (\ varphi ^ {- 1} (x, t), t) = \ begin {bmatrix} 0 \\ \ frac {v_0} {h_0} \ frac {h_0} {h_0 + v_0 t} x_2 \\ 0 \ end {bmatrix} $$


1
Bagus. Apakah X1, X2 dan X3 relatif terhadap x1, x2 dan x3? Dua deskripsi untuk kecepatannya jelas (Eulerian - berkenaan dengan posisi spasial dan Lagrangian berkenaan dengan kerangka referensi partikel). Tapi deskripsi posisi (sebut saja fungsi gerak) cukup membingungkan. Bisakah Anda menjelaskan makna fisiknya?
Yaniv Ben David

1
@YanivBenDavid: Nilai $ X_i $ menunjukkan posisi referensi dari mana gerakan diukur. Nilai $ x_i $ menunjukkan posisi saat ini dari poin yang awalnya di $ X_i $. Jika tidak ada gerakan $ x_i = X_i $. Dalam mekanika kontinum, "gerakan" tubuh adalah peta halus antara $ x $ dan $ X $. Jika kita memeriksa gerak pada $ tetap $, gerak disebut "deformasi".
Biswajit Banerjee
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.