Deskripsi kecepatan Euler dan Lagrangian

Saya merasa seolah-olah saya memahami perbedaan konseptual antara deskripsi Lagrangian dan Euler. Tapi sepertinya saya tidak bisa mengikuti matematika. Saya punya satu contoh yang saya akan sangat menghargai penjelasan atau perhitungan penuh untuk

Gerakan tersebut dapat dinyatakan sebagai:   $$ \ kiri \ {\ begin {align} x_1 (X_1, X_2, X_3, t) & amp; = X_1 \\ x_2 (X_1, X_2, X_3, t) & amp; = X_2 + \ dfrac {X_2 v_0 t} {h_0} \\ x_3 (X_1, X_2, X_3, t) & amp; = X_3 \\ \ end {align} \ kanan. $$   kecepatan dalam deskripsi Lagrangian:   $$ v_i = \ begin {bmatrix} 0 \\ \ kiri (\ dfrac {X_2v_0} {h_0} \ kanan) \\ 0 \ end {bmatrix} $$   dalam uraian Euler:   $$ v_i = \ begin {bmatrix} 0 \\ \ kiri (\ dfrac {x_2v_0} {h_0 + v_0 t} \ kanan) \\ 0 \ end {bmatrix} $$

Saya sepenuhnya mendukung kecepatan dalam deskripsi Lagrangian. Saya tidak bisa seumur hidup mencari tahu bagaimana deskripsi Euler dihitung atau mengapa.

Bisakah seseorang menunjukkan kepada saya bagaimana deskripsi kecepatan Euler dihitung?

Gerakannya adalah $$   x = \ varphi (X, t) \ quad \ leftrightarrow \ quad X = \ varphi ^ {- 1} (x, t) $$ Kecepatan Lagrangian adalah $$  V (X, t) = \ dot {\ varphi} (X, t) = \ frac {\ partial \ varphi (X, t)} {\ partial t} $$ Kecepatan spasial (Euler) didefinisikan sebagai $$   v (x, t) = V (\ varphi ^ {- 1} (x, t), t) = \ dot {\ varphi} (\ varphi ^ {- 1} (x, t), t) = \ frac {\ partial \ varphi (\ varphi ^ {- 1} (x, t), t)} {\ partial t} $$ Dalam kasus Anda $$   \ varphi (X, t) = \ begin {bmatrix} X_1 \\ \ frac {h_0 + v_0 t} {h_0} X_2 \\ X_3 \ end {bmatrix} \ quad \ menyiratkan \ quad   V (X, t) = \ begin {bmatrix} 0 \\ \ frac {v_0} {h_0} X_2 \\ 0 \ end {bmatrix} $$ dan $$   \ varphi ^ {- 1} (x, t) = \ begin {bmatrix} x_1 \\ \ frac {h_0} {h_0 + v_0 t} x_2 \\ x_3 \ end {bmatrix} \ quad \ menyiratkan \ quad   v (x, t) = V (\ varphi ^ {- 1} (x, t), t) = \ begin {bmatrix} 0 \\ \ frac {v_0} {h_0} \ frac {h_0} {h_0 + v_0 t} x_2 \\ 0 \ end {bmatrix} $$