Apa interpretasi fisik dari suku kedua dalam tensor tegangan kental dalam persamaan Navier-Stokes?

Saya telah mencari jawaban ini untuk sementara waktu. Saya sudah membaca banyak teks dan bahkan menonton beberapa kuliah online, tetapi sering kali ini tidak pernah dijelaskan dan hanya diberikan. Istilah tegangan viskos dalam persamaan Navier-Stokes terlihat seperti

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{kamu} + (\nabla \vec{kamu})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Sekarang istilah cukup mudah untuk dipahami karena ini hanyalah difusi kecepatan, tetapi saya kesulitan menemukan interpretasi fisik dari istilah . Setelah saya mengembangkan istilah ini, saya berakhir dengan $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{kamu})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{kamu} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{kamu} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{kamu} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

yang tampaknya menyiratkan bahwa efek ini tidak hadir dalam bidang kecepatan bebas divergensi, tetapi saya masih tidak dapat menemukan atau menemukan intuisi fisik tentang apa arti istilah ini sebenarnya. Adakah yang mengerti apa istilah ini mewakili secara fisik?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— Adam O'Brien
sumber

Tambahan: Anda benar bahwa istilah tersebut tidak ada dalam aliran yang tidak dapat dikompres. Sepertinya memperhitungkan difusi momentum karena gradien dalam kepadatan. Dua bidang fluida yang berdekatan dapat memiliki kecepatan yang sama tetapi momentum berbeda, tidak ada tegangan geser di antara keduanya tetapi momentum akan berdifusi.

— Dan

Pertanyaan ini adalah topik untuk Teknik. Saya telah menghapus beberapa komentar yang menyarankan situs lain untuk pertanyaan ini. Sebagian karena meminta pemahaman terapan tentang persamaan tetapi juga karena ini adalah bagian dari mekanika kontinum. Harap ingat bahwa tidak apa-apa jika Anda sedikit cemburu dengan situs Anda

Diskusi meta terkait: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

Titik tentang gradien momentum hadir karena gradien kepadatan non-nol adalah bagus. Terima kasih semuanya atas tanggapan Anda!

— Adam O'Brien

Jawaban:

Anda tidak harus memisahkan kedua istilah itu dalam mencari interpretasi fisik. Istilah adalah tensor laju regangan . Fluks momentum (atau tekanan) yang disebabkan oleh fakta bahwa kita memiliki fluida yang mengalir diperhitungkan oleh seluruh istilah . Dalam persamaan NS kedua istilah dapat dianggap sebagai kepadatan gaya (gaya per satuan volume). Anda benar, bahwa suku kedua adalah nol untuk aliran yang tidak dapat dimampatkan (lihat di sini ). $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

PEMBARUAN: Derivasi lengkap dari tensor laju regangan adalah kompleks dan mungkin di luar ruang lingkup di sini. Jika Anda tertarik, saya telah menemukan bahwa sumber yang bagus adalah Pengantar Mekanika Fluida oleh Whitaker. Secara singkat, mari kita terima bahwa tensor mewakili laju regangan dan solid seperti gerakan rotasi. Tensor apa pun dapat didekomposisi dengan cara berikut: $\nabla \vec{u}$ Istilah pertama biasanya disebut tensor rate tensor, simetris, dan dapat ditunjukkan bahwa ia tidak menyertakan gerakan rotasi kaku. Istilah kedua biasanya disebut tensor vortisitas, kemiringannya simetris, dan dapat ditunjukkan bahwa ia tidak berkontribusi terhadap laju regangan dan bahwa ia mewakili gerakan rotasi yang kaku seperti rotasi.

\nabla \vec{kamu} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{kamu} + {(\nabla \vec{kamu})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{kamu} - {(\nabla \vec{kamu})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— Salomon Turgman
sumber

Ini yang saya temukan ketika melihatnya, tetapi saya mencoba menemukan sesuatu seperti derivasi dari tensor rate tensor sebelum melakukan jawaban, untuk memahami mengapa itu termasuk matriks reguler dan transpos.

— Trevor Archibald

Terima kasih, saya melewati derivasi tensor-rate dari geometri seperti yang Anda sarankan, dan itu banyak membantu saya.

— Adam O'Brien

Saya setuju dengan @sturgman orang tidak boleh melihat bagian-bagian individual tetapi mencoba memahaminya dalam konteks ints.

Melihat versi yang paling dasar dari Navier-Stokes-Equation (menggunakan Einstein-Notation ):

ρ \frac{D {kamu}_{saya}}{D t} = ρ k_{saya} + \frac{\partial}{\partial x_{saya}} (- hal + λ^{*} \frac{\partial {kamu}_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{kamu}) + (\nabla \vec{kamu})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial {kamu}_{saya}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial {kamu}_{j}}{\partial x_{saya}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

Bagian underbraced dalam aslinya dapat ditulis ulang.

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial {kamu}_{saya}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial {kamu}_{j}}{\partial x_{saya}}]) = η (\frac{\partial^{2} {kamu}_{saya}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{saya}} [\frac{\partial {kamu}_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

Yang mengarah ke:

ρ \frac{D {kamu}_{saya}}{D t} = \underset{saya}{\underset{⏟}{ρ k_{saya}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial hal}{\partial x_{saya}}}} + \underset{AKU AKU AKU}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{saya}} [\frac{\partial {kamu}_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} {kamu}_{saya}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

Dalam notasi simbolis ini akan terlihat seperti:

ρ \frac{D \vec{kamu}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla hal + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{kamu}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{kamu}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— aturan30
sumber

Saya minta maaf :-( Itu bukan maksud saya.

— peterh - Reinstate Monica