Berapa lama yang dibutuhkan debu untuk mengendap di udara?

Agar pertanyaan ini dapat dikelola, mari tambahkan beberapa penyederhanaan.

Partikel debu dapat juga digambarkan sebagai bola seragam radius dan kepadatan . $R$ $\rho$
Ruang tertutup dan tidak ada aliran curah, yaitu udara masih dalam arti makroskopis.
Udara berada pada suhu dan tekanan standar (STP) ; dan . $T=20\ ^\circ\mathrm{C}$ $P=1\ \mathrm{atm}$

Dalam kondisi seperti ini, berapa waktu pengendapan untuk partikel debu? Pada ukuran / kerapatan apa gerakan Brown dari udara menjadi penting?

fluid-mechanics air-quality

— Chris Mueller
sumber

Waktu penyelesaian partikel padat di udara terutama tergantung pada ukuran partikel. Kekuatan yang berbeda menjadi signifikan tergantung pada kisaran ukuran apa yang Anda bicarakan, sehingga sulit untuk memberikan jawaban yang ringkas dan akurat.

Saya akan melakukan yang terbaik untuk mensintesis poin-poin penting daripada membeo referensi; yang mengatakan, di mana aplikasi praktis di bidang kualitas udara yang bersangkutan, teks yang saya sarankan adalah Kontrol Polusi Udara oleh Cooper & Alley . Secara khusus, saya akan menarik banyak detail untuk jawaban ini dari Bagian 3.3: Perilaku Partikulat dalam Cairan.

Ikhtisar Penyelesaian Gravitasi

Debu tidak berperilaku seperti bola bocce Galileo ; partikel kecil dengan ukuran berbeda jatuh dengan laju yang berbeda. Untuk partikel padat, variasi dalam kecepatan pengendapan terutama disebabkan oleh pengaruh gaya seret.

Anda mungkin berharap bahwa gerakan Brown akan "menyulap" partikel yang sangat kecil di sekitar, menjaga mereka dari mengendap. Partikel - partikel debu yang cukup kecil dapat tetap masuk dalam waktu yang tidak terbatas, tetapi, praktisnya, yang lebih berkaitan dengan udara tidak pernah diam sempurna dibandingkan dengan gerakan Brown. Dalam konteks kualitas udara, kami peduli tentang gerakan Brown terutama ketika mempertimbangkan impaksi (misalnya, pada tetesan air di PM scrubber basah ) atau pengendapan (misalnya, pada dedaunan di dekat jalan raya ). Tidak satu pun dari mekanisme ini yang relevan dengan kasus pengendapan gravitasi murni.

Faktanya, ketika sebuah partikel padat menjadi cukup kecil untuk mulai mempertimbangkan gerakan molekul udara diskrit, kami menemukan bahwa itu sebenarnya mengendap sedikit lebih cepat daripada yang disiratkan oleh hukum Stokes . Ini adalah ketika kita menerapkan faktor koreksi slip Cunningham yang ditentukan secara eksperimental untuk mengurangi koefisien drag Stokes. Faktor koreksi di udara terkait dengan diameter partikel dan jalur bebas rata - rata oleh: $d_p$ $\lambda$

C = 1 + 2.0 \frac{λ}{d_{hal}} [1.257 + 0,40 \exp (- 0,55 \frac{d_{hal}}{λ})]

$C = 1 + 2.0 \frac{\lambda}{d_p} \left [ 1.257 + 0.40 \exp(-0.55 \frac{d_p}{\lambda}) \right ]$

Adapun arti "cukup kecil" sebenarnya, teks Cooper & Alley mengatakan:

Untuk partikel yang lebih kecil dari 1 mikron, faktor koreksi slip selalu signifikan, tetapi dengan cepat mendekati 1,0 karena ukuran partikel meningkat di atas 5 mikron.

Itu bisa menjadi pembenaran cukup untuk menyisihkan waktu atau siklus pemrosesan yang diperlukan untuk menghitung faktor koreksi ketika semua yang Anda khawatirkan adalah partikel yang relatif besar.

Persamaan Gerak

Kita dapat menurunkan persamaan gerak dalam satu dimensi sebagai berikut.

Terapkan hukum kedua Newton pada partikel dalam hal kecepatan relatifnya dalam fluida. * $m_{hal} v_{r}^{'} = F_{g} - F_{B} - F_{D}$ $m_p v_r' = F_g - F_B - F_D$
Hukum Stokes memberikan gaya hambat dalam hal viskositas fluida dan kecepatan dan diameter partikel; gaya apung sama dengan berat fluida yang dipindahkan. $m_{hal} v_{r}^{'} = m_{hal} g - m_{Sebuah saya r} g - 3 π μ d v_{r}$ $m_p v_r' = m_p g - m_{air} g - 3 \pi \mu d v_r$
Dibagi dengan massa partikel. $v_{r}^{'} = g - \frac{m_{Sebuah saya r}}{m_{hal}} g - \frac{3 π μ d}{m_{hal}} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{m_{air}}{m_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{m_p} v_r$
Ekspresikan massa sebagai produk volume dan kepadatan, di mana volume partikel dan volume udara yang dipindahkan adalah sama. $v_{r}^{'} = g - \frac{ρ_{Sebuah saya r}}{ρ_{hal}} g - \frac{3 π μ d}{ρ_{hal} V} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{\rho_{air}}{\rho_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{\rho_p V} v_r$
Menggunakan , sederhanakan istilah gaya seret dan pindahkan ke sisi kiri. $V_{sphere} = \frac{1}{6} \pi d^3$ $v_{r}^{'} + \frac{18 μ}{ρ_{hal} d^{2}} v_{r} = (1 - \frac{ρ_{Sebuah saya r}}{ρ_{hal}}) g$ $v_r' + \frac{18 \mu}{\rho_p d^2} v_r = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

Ini adalah ODE linier dengan koefisien yang diketahui (pada STP) yang mewakili waktu karakteristik berikut untuk menyelesaikan partikel:

τ = \frac{ρ_{hal} d^{2}}{18 μ}

$\tau = \frac{\rho_p d^2}{18 \mu}$

Waktu karakteristik adalah parameter yang berguna untuk membandingkan perilaku berbagai sistem partikel yang tersebar dalam cairan, mirip dengan bagaimana bilangan Reynolds dapat digunakan untuk mengidentifikasi kapan sistem yang berbeda akan memiliki rezim aliran yang sama. Menerapkan faktor koreksi slip Cunningham memberikan waktu koreksi slip dan persamaan gerak yang akan saya gunakan di bagian selanjutnya: $\tau' = C \tau$

v_{r}^{'} + \frac{v_{r}}{τ^{'}} = (1 - \frac{ρ_{Sebuah saya r}}{ρ_{hal}}) g

$v_r' + \frac{v_r}{\tau'} = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

_{* Sistem koordinat untuk contoh ini didefinisikan sedemikian rupa sehingga kecepatan jatuh positif.}

Kecepatan terminal

Untuk partikel padat yang jatuh di udara, mendekati nol. Di bawah asumsi itu, pengaturan dalam persamaan gerak memberikan terminal kecepatan pengendapan partikel: $\dfrac{\rho_{air}}{\rho_p}$ $v_r' = 0$

v_{t} = τ^{'} g

$v_t = \tau' g$

Menggunakan kecepatan terminal itu, solusi dari persamaan gerak dapat dinyatakan sebagai:

\frac{v_{r}}{v_{t}} = 1 - e^{\frac{- t}{τ^{'}}}

$\frac{v_r}{v_t} = 1 - e^{-t \over \tau'}$

Pada saat , partikel telah mencapai 98% dari kecepatan terminalnya. Jika Anda menghitung waktu karakteristik untuk partikel debu, Anda akan melihat bahwa ini hanya membutuhkan sepersekian detik; partikel debu menghabiskan sebagian besar waktu penyelesaian jatuh pada kecepatan terminal. Kecepatan itu sendiri bervariasi secara signifikan dengan diameter partikel, tetapi dapat memakan waktu mulai dari jam hingga hari untuk partikulat halus untuk menetap hanya beberapa meter . $t = 4 \tau'$

Debu Lebih Besar

Ini bagus dan bagus untuk debu yang lebih kecil, tetapi bagaimana dengan benda-benda besar yang ada di mata Anda dan membuat Anda batuk? Nah, berita buruk dari Cooper & Alley:

Untuk partikel yang lebih besar dari 10-20 mikron yang menetap pada kecepatan terminalnya, angka Reynolds terlalu tinggi untuk analisis rezim Stokes menjadi valid. Untuk partikel yang lebih besar ini, sarana empiris diperlukan untuk mendapatkan kecepatan pengendapan ...

"Berarti empiris" adalah cara yang bagus untuk mengatakan angka itu sendiri atau biasakan membaca grafik yang memplot kurva yang sesuai dengan eksponen desimal jelek ke hasil eksperimen sebelumnya.

— Udara
sumber

Untuk partikel individu, Anda dapat menggunakan hukum Stokes : mana adalah viskositas dinamis dari udara, yang mudah untuk dihitung . Menggunakan hukum Stokes mengasumsikan Anda tahu ketinggian awal partikel debu, dan mungkin tidak nyaman untuk jumlah besar karena setiap partikel dapat mulai pada posisi yang sama sekali berbeda - dengan kata lain, itu bukan model sistem partikel besar.

v_{terminal} = \frac{2 g R^{2} (ρ_{partikel} - ρ_{udara})}{9 μ}

$v_{\text{terminal}}=\frac{2gR^2(\rho_{\text{particle}}-\rho_{\text{air}})}{9\mu}$

μ

$\mu$

Saya menemukan beberapa data yang lebih akurat untuk partikel dari jari-jari yang berbeda, diberikan dalam waktu paruh; sedikit lebih banyak data di sini .

Grafik waktu penyelesaian untuk batu bara, besi dan semen diberikan di sini , yang menggambarkan lebih lanjut hubungan non-linear, terbalik-eksponensial antara jari-jari debu dan waktu pengendapan.

Teori penyelesaian diterapkan di sini untuk nebula surya. Saya tidak yakin persis berapa banyak formula yang dapat diterapkan di sini, tetapi beberapa mungkin berguna.

t = \frac{ρ_{debu}}{ρ_{udara}} \frac{R}{v_{panas}}

$t=\frac{\rho_{\text{dust}}}{\rho_{\text{air}}}\frac{R}{v_{\text{thermal}}}$ mana Tetapkan kondisi ke STP dan Anda dapat memiliki jawaban yang lebih baik, meskipun bidang aplikasi sangat berbeda!

v_{panas} = \sqrt{\frac{8 k_{B} T}{π μ m_{partikel}}}

$v_{\text{thermal}}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi \mu m_{\text{particle}}}}$

— HDE 226868
sumber

Anda mulai dengan "untuk partikel individual ...". Apakah idenya juga berlaku untuk kabut partikel yang padat?

— Trilarion

@Trilarion Ya, tapi Anda harus melakukan perhitungan yang berbeda untuk masing-masing.

— HDE 226868

@ Air Whoops, perbaiki matematika. Yang saya maksud tentang ketinggian adalah bahwa hanya mengetahui kecepatan terminal tidak akan memungkinkan Anda untuk menghitung waktu penyelesaian; Anda harus mengetahui kondisi awal.

— HDE 226868

Benar. Slide nebula itu sangat menarik. Mereka memunculkan batasan lain dari pendekatan "bola seragam", yaitu partikel sub-mikron cenderung bergabung satu sama lain untuk membentuk sub-mikron yang lebih besar dan partikel halus. Beberapa di antaranya juga reaktif, atau terbentuk dari prekursor di udara. Banyak kerumitan, dan bidang banyak penelitian yang sedang berlangsung.

— Air

@ Air Mengingat betapa aku mencintai astrofisika, dan bidang spesifik - disk puing - puing sedang dipelajari, cukup mengejutkan untuk mempelajari sesuatu yang baru ketika meneliti sesuatu yang sangat berbeda, kualitas udara.

— HDE 226868