Bagaimana cara menentukan panjang karakteristik dalam perhitungan bilangan reynolds secara umum?

Saya mengerti bahwa angka reynolds diberikan oleh ekspresi $Re=\frac{\rho v L}{\mu}$ , di manaadalah densitas,adalah kecepatan fluida danadalah viskositas dinamis. Untuk masalah dinamika fluida tertentu,,, dandiberikan sepele. Tapi apa sebenarnya panjang karakteristik? Bagaimana tepatnya saya menghitungnya? Apa yang bisa saya gunakan dari masalah yang diberikan untuk menentukan panjang karakteristik secara otomatis? $\rho$ $v$ $\mu$ $\rho$ $v$ $\mu$ $L$

fluid-mechanics

— Paul
sumber

Bisakah Anda menjelaskan mengapa Reynoldsnumber adalah kesamaan yang menggambarkan masalah aliran Anda?

— rul30

Jawaban:

Saya ingin mendekati pertanyaan ini dari perspektif matematika yang dapat bermanfaat seperti yang dibahas dalam beberapa komentar dan jawaban. Jawaban yang diberikan bermanfaat, namun saya ingin menambahkan:

Secara umum skala panjang terkecil yang tersedia adalah skala panjang karakteristik.
Kadang-kadang (misalnya dalam sistem dinamis) tidak ada skala panjang tetap untuk dipilih sebagai skala panjang karakteristik. Dalam kasus seperti itu sering ditemukan skala panjang dinamis.

Skala panjang karakteristik:

TL; DWTR: untuk,adalah skala panjang karakteristik; untuk,adalah skala panjang karakteristik. Ini menyiratkan bahwa skala panjang yang lebih kecil adalah (biasanya) skala panjang karakteristik. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Pertimbangkan kasus aliran pipa yang dibahas dalam jawaban lain; ada jari-jari tetapi juga panjang dari pipa. Biasanya kita menganggap diameter pipa sebagai karakteristik panjang skala tetapi apakah ini selalu terjadi? Baiklah, mari kita lihat ini dari perspektif matematika; mari kita tentukan koordinat tanpa dimensi: $R$ $L$

\bar{x} = \frac{x}{L} \bar{y} = \frac{y}{R} \bar{u} = \frac{u}{U} \bar{v} = \frac{v}{V} \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}

$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$

Di sini, , , , adalah skala koordinat - dan skala kecepatan tetapi belum tentu skala karakteristiknya. Perhatikan bahwa pilihan skala tekanan hanya valid untuk . Kasus membutuhkan rescaling a. $L$ $R$ $U$ $V$ $x$ $y$ $P=\rho U^2$ $\mathrm{Re}\gg1$ $\mathrm{Re}\ll1$

Mengubah persamaan kontinuitas menjadi kuantitas tanpa dimensi:

\nabla \cdot u = 0 \to \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \bar{v} = 0

$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$

yang hanya bisa menjadi kasus ketika kita mengasumsikan atau . Mengetahui hal ini, nomor Reynolds dapat didefinisikan ulang: $\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$ $\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

R e = \frac{U R}{ν} = \frac{U}{V} \frac{R}{L} \frac{V L}{ν} = \frac{V L}{ν} = \hat{R e}

$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$

Demikian pula, mari kita ubah persamaan Navier-Stokes ( -komponen hanya agar tetap pendek): Kita melihat di sini bilangan Reynolds muncul secara alami sebagai bagian dari proses penskalaan. Namun, tergantung pada rasio geometris , persamaannya mungkin memerlukan penyetelan ulang. Pertimbangkan dua kasus: $x$

u \cdot \nabla u = - \frac{1}{ρ} \nabla p + ν △ u

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$

\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} [\frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u} + \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}]

$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$

R / L

$R/L$

Jari-jari pipa jauh lebih kecil dari panjang pipa (yaitu ): $R/L\ll1$

Persamaan yang diubah kemudian membaca: Di sini kita memiliki masalah karena istilah bisa sangat besar dan persamaan yang diskalakan dengan benar hanya memiliki koefisien atau lebih kecil. Jadi kita memerlukan penskorsan ulang dari koordinat, kecepatan dan tekanan:
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$ $O(1)$ $\bar{x}$ $\bar{v}$ $\bar{p}$ $\hat{x} = \bar{x} {(\frac{R}{L})}^{α} \hat{v} = \bar{v} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ Pilihan jumlah yang dihitung kembali ini memastikan bahwa persamaan kontinuitas tetap berupa: The Navier-Stokes persamaan dalam hal jumlah hasil yang dihitung kembali: yang diskalakan dengan benar koefisien atau lebih kecil ketika kita mengambil nilai . Ini menunjukkan skala tekanan tidak perlu diubah ukurannya tetapi skala panjang dan kecepatan telah didefinisikan ulang: $\partial_{\hat{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \hat{v} = 0$ $\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$ $\bar{u} \partial_{\hat{x}} \bar{u} + \hat{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\hat{x}} \hat{p} + \frac{1}{R e} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $O(1)$ $\alpha=-1,\,\beta=0$ $\hat{x} = \bar{x} \frac{L}{R} = \frac{x}{R} \hat{v} = \bar{v} \frac{R}{L} = \bar{v} \frac{V}{U} = \frac{v}{U} \hat{p} = \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}$ $\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$ dan kita melihat bahwa panjang karakteristik dan skala kecepatan untuk masing-masing dan tidak dan seperti yang diasumsikan di awal tapi dan . $x$ $v$ $L$ $V$ $R$ $U$
Jari-jari pipa jauh lebih besar dari panjang pipa (yaitu ) $R/L\gg1$ :

Persamaan yang diubah kemudian membaca: Demikian juga dengan kasus sebelumnya, bisa sangat besar dan membutuhkan pengubahan ukuran. Kecuali saat ini kami membutuhkan penskalaan kembali dari koordinat , kecepatan dan : Pilihan jumlah yang dihitung ulang ini lagi memastikan bahwa persamaan kontinuitas tetap berupa:
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$ $\bar{y}$ $\bar{u}$ $\bar{p}$ $\hat{y} = \bar{y} {(\frac{R}{L})}^{α} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ $\partial_{\bar{x}} \hat{u} + \partial_{\hat{y}} \bar{v} = 0$ $\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$ Persamaan Navier-Stokes dalam hal jumlah hasil yang dihitung ulang menghasilkan: yang diskalakan dengan benar dengan koefisien atau lebih kecil saat kita mengambil nilai . Ini menunjukkan skala panjang, kecepatan, dan tekanan telah didefinisikan ulang: $\hat{u} \partial_{\bar{x}} \hat{u} + \bar{v} \partial_{\hat{y}} \hat{u} = - \partial_{\bar{x}} \hat{p} + \frac{1}{\hat{R e}} \partial_{\bar{x}}^{2} \hat{u}$ $\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$ $O(1)$ $\alpha=1\,\beta=-2$ $\hat{y} = \bar{y} \frac{R}{L} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} \frac{L}{R} = \bar{u} \frac{U}{V} = \frac{u}{V} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{L}{R})}^{2} = \bar{p} {(\frac{U}{V})}^{2} = \frac{p}{ρ V^{2}}$ $\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$ dan kita melihat bahwa panjang karakteristik, kecepatan dan tekanan untuk masing-masing , dan bukan , , seperti yang diasumsikan di awal tetapi , dan . $x$ $v$ $p$ $R$ $U$ $\rho U^{2}$ $L$ $V$ $\rho V^{2}$

Jika Anda lupa inti dari semua ini: untuk , adalah skala panjang karakteristik; untuk , adalah skala panjang karakteristik. Ini menyiratkan bahwa skala panjang yang lebih kecil adalah (biasanya) skala panjang karakteristik. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Timbangan panjang dinamis:

Pertimbangkan difusi suatu spesies ke dalam domain semi-tak terbatas. Karena tidak terbatas dalam satu arah, ia tidak memiliki skala panjang tetap. Sebaliknya skala panjang didirikan oleh 'lapisan batas' perlahan-lahan menembus ke domain. 'Panjang penetrasi' ini sebagai skala panjang karakteristik kadang-kadang disebut diberikan sebagai:

δ (t) = \sqrt{π D t}

$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$

di mana adalah koefisien difusi dan adalah waktunya. Seperti yang terlihat, tidak ada skala panjang terlibat karena ditentukan sepenuhnya oleh dinamika difusi sistem. Untuk contoh sistem seperti itu, lihat jawaban saya untuk pertanyaan ini . $D$ $t$ $L$

— nluigi
sumber

Apa sebenarnya yang Anda maksudkan dengan tersedia ketika Anda mengatakan " skala panjang terkecil yang tersedia "? Apa yang sebenarnya menentukan apa yang tersedia dan apa yang tidak?

— Paul

@ Paul 'tersedia' dimaksudkan dalam kaitannya dengan skala panjang geometris yang jelas seperti panjang, tinggi, lebar, diameter, dll. Ini berbeda dengan skala panjang dinamis yang jauh lebih jelas dan ditentukan oleh dinamika sistem.

— nluigi

Apakah ada pembenaran khusus untuk umumnya menggunakan "panjang terkecil yang tersedia" yang bertentangan dengan panjang lain yang tersedia?

— Paul

@ Paul Gradien umumnya yang terbesar di sana sehingga sebagian besar transportasi terjadi pada skala panjang kecil

— nluigi

terima kasih telah menyatukan ini. idk jika haknya tho

— Dan Powers

Ini adalah pertanyaan praktis, empiris, bukan pertanyaan teoretis yang dapat "diselesaikan" oleh matematika. Salah satu cara untuk menjawabnya adalah mulai dari apa yang dimaksud bilangan Reynolds secara fisik: ia mewakili rasio antara gaya inersia "tipikal" dan gaya viskos di bidang aliran.

Jadi, Anda melihat pola aliran yang khas, dan memilih pengukuran panjang terbaik untuk mewakili rasio gaya.

Misalnya, dalam aliran melalui pipa bundar, gaya kental (geser) bergantung pada profil kecepatan dari sumbu pipa ke dinding. Jika kecepatan sepanjang sumbu pipa tetap sama, menggandakan jari-jari akan (secara kasar) membagi dua laju geser antara sumbu dan dinding (di mana kecepatannya nol). Jadi jari-jari, atau diameternya, adalah pilihan yang baik untuk panjang karakteristik.

Jelas Re akan berbeda (dengan faktor 2) jika Anda memilih jari-jari atau diameter, sehingga dalam praktiknya setiap orang membuat pilihan yang sama dan semua orang menggunakan nilai kritis Re yang sama untuk transisi dari aliran laminar ke turbulen. Dari sudut pandang rekayasa praktis, ukuran pipa ditentukan oleh diameternya karena itu yang mudah diukur, jadi Anda sebaiknya menggunakan diameter untuk Re juga.

Untuk pipa yang kira-kira bundar, Anda dapat memutuskan (dengan argumen fisik serupa) bahwa keliling pipa benar-benar panjang yang paling penting, dan oleh karena itu membandingkan hasilnya dengan pipa bundar dengan menggunakan "diameter setara" yang didefinisikan sebagai (lingkar / pi).

Di sisi lain, panjang pipa tidak memiliki banyak pengaruh pada pola aliran fluida, jadi untuk sebagian besar tujuan yang akan menjadi pilihan panjang karakteristik yang buruk untuk Re. Tetapi jika Anda mempertimbangkan aliran dalam "pipa" yang sangat pendek di mana panjangnya jauh lebih kecil dari diameternya, panjangnya mungkin merupakan angka terbaik untuk digunakan sebagai parameter yang menggambarkan aliran.

— alephzero
sumber

Saya tidak setuju dengan pernyataan Anda bahwa matematika tidak dapat membantu di sini. Prosedur yang Anda gambarkan tidak akan berguna dalam banyak kasus tanpa skala panjang yang jelas, seperti lapisan batas. Itulah pertanyaan yang ada. Analisis dimensi dari persamaan yang mengatur telah terbukti cukup membantu dalam menemukan skala panjang yang relevan di lapisan batas laminar dan turbulen, misalnya, skala ketebalan lapisan batas laminar dan skala panjang kental, masing-masing. Penskalaan plume termal medan jauh adalah kasus lain di mana jauh lebih jelas bagaimana melakukan analisis yang Anda sarankan, tetapi analisis dimensi membantu.

— Ben Trettel

@ BenTrettel - Saya setuju bahwa analisis dimensi dapat sangat membantu dalam menentukan skala panjang karakteristik. Lihat jawaban saya untuk contoh 'sederhana'.

— nluigi

Ada tiga cara utama untuk menentukan kelompok istilah mana (lebih umum dari skala panjang atau waktu) yang relevan. Yang pertama adalah dengan matematika, yang dapat melibatkan penyelesaian masalah atau masalah analog atau yang sesuai secara analitis dan melihat istilah mana yang muncul dan membuat pilihan yang menyederhanakan hal-hal yang sesuai (lebih lanjut tentang ini di bawah). Pendekatan kedua adalah dengan coba-coba, kurang lebih. Yang ketiga adalah dengan preseden, biasanya ketika orang lain di masa lalu telah melakukan semacam analisis yang disebutkan sebelumnya dalam masalah ini atau yang terkait.

Ada beberapa cara untuk melakukan analisis teoretis, tetapi satu yang berguna dalam rekayasa adalah persamaan yang mengatur non-dimensi. Terkadang, panjang karakteristiknya jelas, seperti halnya aliran pipa. Tetapi di lain waktu, tidak ada panjang karakteristik yang jelas , seperti halnya dalam aliran geser bebas, atau lapisan batas. Dalam kasus ini, Anda bisa menjadikan panjang karakteristik sebagai variabel bebas, dan memilih yang menyederhanakan masalah . Berikut adalah beberapa catatan bagus tentang non-dimensi , yang memiliki saran berikut untuk menemukan skala waktu dan panjang karakteristik:

(selalu) Buat sebanyak mungkin konstanta nondimensi sama dengan satu konstanta.

(Biasanya) Buat konstanta yang muncul dalam kondisi awal atau batas sama dengan satu.

(biasanya) Jika ada konstanta nondimensi yang, jika kita menetapkannya sama dengan nol, akan menyederhanakan masalah secara signifikan, memungkinkannya tetap bebas dan kemudian melihat kapan kita dapat membuatnya kecil.

Pendekatan utama lainnya adalah menyelesaikan masalah sepenuhnya dan melihat kelompok istilah mana yang muncul. Umumnya panjang yang relevan jelas jika Anda mengambil istilah dari jenis analisis teoretis, meskipun analisis semacam ini sering lebih mudah diucapkan daripada dilakukan.

Tetapi bagaimana Anda mencari tahu panjang lebar jika Anda tidak memiliki analisis teoretis? Seringkali, tidak masalah berapa lama Anda memilih. Beberapa orang tampaknya berpikir ini membingungkan, karena mereka diajari bahwa transisi turbulensi terjadi pada 2300 (untuk pipa), atau 500.000 (untuk pelat datar). Ketahuilah bahwa dalam case pipa, tidak masalah jika Anda memilih diameter atau radius. Itu hanya skala angka Reynolds kritis dengan faktor dua. Yang penting adalah memastikan bahwa kriteria apa pun yang Anda gunakan konsisten dengan definisi nomor Reynolds yang Anda gunakan, dan masalah yang Anda pelajari . Itu tradisi yang menentukan bahwa kita menggunakan diameter untuk aliran pipa. $Re$

Juga, untuk menjadi umum, analisis atau eksperimen dapat menyarankan nomor lain, katakanlah nomor Biot, yang juga memiliki "panjang karakteristik" di dalamnya. Prosedur dalam kasus ini identik dengan yang telah disebutkan.

Terkadang Anda dapat membuat analisis heuristik untuk menentukan panjang yang relevan. Dalam contoh bilangan Biot, panjang karakteristik ini biasanya diberikan sebagai volume objek dibagi dengan luas permukaannya, karena ini masuk akal untuk masalah perpindahan panas. (Volume yang lebih besar = perpindahan panas yang lebih lambat ke pusat dan luas permukaan yang lebih besar = perpindahan panas yang lebih cepat ke pusat.) Tapi saya kira itu mungkin untuk menurunkan ini dari perkiraan tertentu. Anda dapat membuat argumen serupa yang membenarkan diameter hidrolik .

— Ben Trettel
sumber

Jika saya memilih L secara sewenang-wenang dan masalahnya adalah non-kanonik sehingga rezim aliran dan solusi analitis tidak diketahui secara apriori, maka coba-coba adalah satu-satunya cara?

— Paul

Saya kira tidak. Anda mungkin bisa mendapatkan sesuatu yang bermanfaat dengan tidak mendimensiasikan persamaan yang relevan dengan skala panjang dan waktu yang sewenang-wenang. Ini umumnya adalah langkah pertama saya ketika menganalisis masalah dengan persamaan yang jelas tetapi tidak memiliki skala panjang atau waktu yang jelas. Jika Anda bingung tentang bagaimana melakukan ini dalam kasus khusus Anda, posting sebagai pertanyaan di sini dan saya akan mencobanya.

— Ben Trettel