Respons sistem terhadap fungsi langkah (fungsi Heaviside)

Saya ingin menghitung respons terhadap fungsi langkah dari sistem listrik / termal. Secara umum saya dapat "dengan mudah" menghitung fungsi transfer : $H$

H (ω) = \frac{V_{Hai kamu t} (ω)}{V_{saya n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Karena transformasi Fourier ( ) dari fungsi Heaviside adalah (dihitung dengan WA): $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{saya n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{saya}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Oleh karena itu, mencatat transformasi Inverse Fourier: $\mathcal{IF}$

V_{Hai kamu t} (t) = saya F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{saya}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Untuk memeriksa matematika saya, saya mencoba menghitung respons untuk sistem RC sederhana:

Saya harus mendapatkan muatan kapasitor yang terkenal. Fungsi transfer:

H (ω) = \frac{1}{1 + saya ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

Menghitung transformasi Inverse Fourier ( ) dengan WA ( ) saya dapatkan: $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Ini akan benar jika kita mundur dalam waktu: /. Jadi pertanyaannya adalah ... Apa yang saya lakukan salah?

Saya melakukan hal yang sama menggunakan Transformasi Laplace dan semuanya berfungsi dengan baik ... Tapi saya tidak mengerti mengapa.

PS Saya tidak ingin metode lain, saya hanya ingin mengerti apa yang salah dalam pendekatan saya.

PS alasan mengapa saya menggunakan WA adalah bahwa untuk sistem saya yang lebih rumit, saya perlu menghitung transformasi Fourier menggunakan WA.

— Worldsheep
sumber

Ini bukan jawaban yang Anda cari, tetapi artikel ini tentang cara melakukan Transformasi Inverse Laplace Diskrit untuk hampir semua fungsi transfer mungkin menarik bagi Anda.

— user5108_Dan

Terima kasih atas tautannya yang menarik! Saya masih mencoba memahami mengapa transformasi Laplace diperlukan. Atau lebih baik, mengapa transformasi Fourier tidak berhasil ...

— Worldsheep

Apakah Anda terbiasa dengan Transformasi Laplace? Transformasi Laplace dan Fourier sangat mirip, tetapi saya bukan ahli matematika yang cukup baik untuk menggambarkan perbedaan yang tepat. EE biasanya bekerja di domain s (Transformasi Laplace) yang akan sama dengan persamaan H (w) Anda jika Anda mengganti ganti jw dengan s. Juga, Anda mungkin akan mendapatkan jawaban yang lebih baik jika Anda memposting pertanyaan ini di situs dsp.stackexchange.com. Orang-orang itu selaras dengan hal-hal ini.

— user5108_Dan

Ya saya perhatikan bahwa EE selalu bekerja dengan Laplace dalam kasus ini dan ketika saya sudah mencobanya, itu bekerja dengan baik! Tetapi secara intuitif, saya akan menggunakan Fourier. Saya akan mengikuti saran Anda dan saya akan mengunjungi situs lain!

— Worldsheep

Anda dapat menemukan jawaban untuk pertanyaan ini di sini: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

Alasan utama kemungkinan karena Wolfram Alpha menerapkan transformasi Fourier terbalik sebagai transformasi Fourier kedua. Bahkan, melakukannya "membalik waktu" - seperti yang dapat ditunjukkan secara matematis :

$\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = saya d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = saya d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

Menerapkan transformasi fourier 3 kali ke sistem akan membuat Anda mendapatkan versi dalam waktu normal. Karena gelombang adalah waktu yang konsisten, biasanya tidak masalah.

— Menandai
sumber