Mengapa Mach 0.3 merupakan ambang yang memisahkan aliran yang dapat dikompresi dan tidak dapat dikompres?

Saya telah membaca bahwa Mach 0,3 cukup banyak batas atas untuk memperlakukan udara sebagai cairan yang tidak dapat dimampatkan. Sumber yang saya baca tampaknya memperlakukan ini sebagai yang diberikan, tanpa bukti atau pembenaran.

Mengapa ini batasnya? Apakah ada pembenaran matematis untuk ini? Juga, apakah batas ini hanya berlaku untuk udara? Jika tidak, lalu bergantung pada batas apa?

fluid-mechanics

— Paul
sumber

Wikipedia memberi alasan Mach 0,3 karena fakta bahwa ini mencapai ~ 5% perubahan dalam kepadatan.

Saya menemukan halaman NASA yang menggambarkan (secara analitik!) Hubungan tersebut. Saya mengutip sumbernya, tetapi saya akan mereproduksi karya di sini untuk anak cucu, jika tautannya berubah.

Mulai dengan konservasi momentum:

(ρ V) d V = - d p

$(\rho V) dV = -dp \\$

mana adalah densitas fluida, adalah kecepatan, dan adalah tekanan. untuk aliran isentropik: $\rho$ $V$ $p$

\frac{d p}{p} = γ \frac{d ρ}{ρ} d p = (\frac{γ p}{ρ}) d ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

di mana adalah rasio panas spesifik. Hukum gas ideal memberi: $\gamma$

p = ρ R T

$p = \rho R T \\$

di mana adalah konstanta gas spesifik dan adalah suhu absolut. Jadi, gantikan: $R$ $T$

d p = γ R T d ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

Kecepatan suara dapat dihitung dengan:

γ R T = a^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

di mana adalah kecepatan suara, jadi: $a$

d p = a^{2} d ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

Mengganti ungkapan di atas ke dalam konservasi persamaan momentum memberikan:

(ρ V) d V = - a^{2} d ρ - (\frac{V^{2}}{a^{2}}) d V / V = d ρ / ρ - M^{2} d V / V = d ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

di mana adalah nomor Mach. Ini memberikan angka Mach sebesar 0,3 menjadi sekitar 5% perubahan dalam kepadatan. $M$

Sebagai catatan, ini didasarkan pada nomor Mach, yang pada gilirannya tergantung pada kecepatan suara dalam gas, sehingga secara otomatis disesuaikan berdasarkan per-gas.

— Membuang
sumber

@ Paul ini berasal dari konservasi momentum. itu bukan "aturan" seperti saran. jika Anda tidak peduli dengan perubahan 10% (atau lebih tinggi) dalam kepadatan (atau jumlah lainnya), silakan dan gunakan hubungan yang tidak dapat dikompres untuk angka Mach yang tinggi. jika Anda melakukan perawatan tentang perubahan kecil dalam kepadatan, kemudian gunakan hubungan kompresibel bahkan untuk nomor Mach rendah

— costrom

Ini bukan hanya kepadatan. Ketika kita tidak membuat dimensi persamaan, kita mengeluarkan kelompok tanpa dimensi. Aturan praktisnya adalah bahwa jika grup berdimensi kurang dari 0,1 kita dapat mengabaikan istilah yang relevan. Dalam kasus nomor Mach itu muncul kuadrat. Jadi kami ingin (nomor Mach) ^ 2 <0,1. Ini kira-kira memberi 0,3. Ini bukan hanya kepadatan - pada dasarnya semua hal yang berubah dengan kecepatan lebih tinggi akan dipengaruhi oleh sekitar 10% setelah jumlah Mach mencapai 0,3.

— Joel

@ Joel - Untuk konteks, OP bertanya tentang kompresibilitas khusus, itulah sebabnya jawaban ini hanya mencakup kepadatan.

— Chuck

Saya akan membuatnya lebih jelas bahwa itu bukan garis pemisah yang tajam. Jika Anda memiliki toleransi yang lebih rendah untuk kesalahan, mulailah menggunakan solusi kompresibel pada nomor mach yang lebih rendah. Jika Anda tidak terlalu peduli, teruslah mengasumsikan ketidakmampatan pada nomor mach yang lebih tinggi. 10% hanyalah pilihan sewenang-wenang dari berapa banyak kesalahan "benar-benar penting", dan 0,3 jatuh dari itu secara matematis, tetapi tidak kurang sewenang-wenang.

— hobbs

@ chuck - melakukan nitpicking di sini, tetapi memperlakukan sesuatu sebagai cairan yang tidak dapat dimampatkan berarti saya dapat mengatakan bahwa divergensi bidang kecepatan adalah 0. Itu mempengaruhi lebih dari sekedar kepadatan - sampai pada titik ketika saya berbicara dan seseorang berkata dia berasumsi itu adalah cairan yang tidak bisa dimampatkan. Biasanya itu bukan pernyataan tentang kepadatan.

— Joel