Distribusi acak tertimbang kontinu, bias ke satu ujung

Saat ini saya berkontribusi pada sistem partikel untuk permainan kami dan mengembangkan beberapa bentuk emitor.

Distribusi acak seragam saya di sepanjang garis atau di sepanjang area persegi berfungsi dengan baik - tidak ada masalah.

Tapi sekarang saya ingin memiliki gradien 1 dimensi dalam distribusi ini. Ini berarti misalnya nilai yang lebih rendah lebih umum daripada nilai yang lebih tinggi.

Saya tidak tahu istilah matematika apa yang cocok untuk masalah ini, jadi keterampilan pencarian saya agak tidak berguna untuk masalah ini. Saya membutuhkan sesuatu yang sederhana secara komputasi, karena sistem partikel harus efisien.

Lihatlah gambar ini:

Ini menunjukkan proses pemetaan nilai (acak) ke kurva. Misalkan Anda menghasilkan nilai acak X yang didistribusikan secara seragam, mulai dari 0 hingga 1. Dengan memetakan nilai ini ke kurva - atau, dengan kata lain, menggunakan f (X) alih-alih X - Anda dapat mengubah distribusi Anda dengan cara apa pun yang Anda suka .

Dalam gambar ini, kurva pertama membuat nilai yang lebih tinggi lebih mungkin; kedua membuat nilai yang lebih rendah lebih mungkin; dan yang ketiga membuat nilai cluster di tengah. Rumus yang tepat dari kurva tidak terlalu penting, dan dapat dipilih sesuka Anda.

Sebagai contoh, kurva pertama terlihat sedikit seperti akar kuadrat, dan kuadrat kedua seperti. Yang ketiga agak mirip kubus, hanya diterjemahkan. Jika Anda menganggap akar kuadrat terlalu lambat, kurva pertama juga terlihat seperti f (X) = 1- (1-X) ^ 2 - inversi kuadrat. Atau hiperbola: f (X) = 2X / (1 + X).

Seperti yang ditunjukkan kurva keempat, Anda cukup menggunakan tabel pencarian yang dikomputasi. Terlihat jelek sebagai kurva, tetapi mungkin akan cukup baik untuk sistem partikel.

Teknik umum ini sangat sederhana dan kuat. Distribusi apa pun yang Anda butuhkan, bayangkan saja pemetaan kurva, dan Anda akan menyusun formula dalam waktu singkat. Atau, jika mesin Anda memiliki editor, buat saja editor visual untuk kurva!

Penjelasan yang lebih panjang:

Jika Anda memiliki distribusi probabilitas yang diinginkan seperti gradien @didito yang diminta, Anda dapat menggambarkannya sebagai fungsi. Katakanlah Anda menginginkan distribusi segitiga, di mana probabilitas pada 0 adalah 0,0, dan Anda ingin memilih angka acak dari 0 hingga 1. Kita mungkin menuliskannya sebagai y = x.

Langkah selanjutnya adalah menghitung integral dari fungsi ini. Dalam hal ini, $\int x=\frac{1}{x^2}$ . Dievaluasi dari 0 menjadi 1, itu ½. Itu masuk akal - itu adalah segitiga dengan basis 1 dan tinggi 1, jadi luasnya ½.

Anda kemudian memilih titik acak secara seragam dari 0 ke area (½ dalam contoh kami). Sebut saja z ini. (Kami memilih secara seragam dari distribusi kumulatif .)

Langkah selanjutnya adalah mundur, untuk menemukan nilai x (apa yang akan kita sebut x̂) sesuai dengan area z. Kami sedang mencari $\int x=\frac{1}{x^2}$ , dievaluasi dari 0 hingga x̂, sama dengan z. Ketika Anda menyelesaikan untuk$\frac{1}{x̂^2}=z$, Anda mendapatkan$x̂ = \sqrt{2z}$ .

Dalam contoh ini, Anda memilih z dari 0 hingga ½ dan kemudian angka acak yang diinginkan adalah $\sqrt{2z}$ . Sederhana, Anda dapat menuliskannya sebagai$\sqrt{rand(0, 1)}$ - persis apa yang direkomendasikan eBusiness.

Anda mungkin akan mendapatkan perkiraan mendekati apa yang Anda inginkan dengan memanfaatkan sistem eksponensial.

Buat x berdasarkan sesuatu seperti 1- (nilai rnd ^) (Dengan asumsi rnd adalah antara 0 dan 1) dan Anda akan mendapatkan beberapa perilaku berbeda dari arah miring ke kanan berdasarkan apa yang Anda gunakan. Nilai yang lebih tinggi akan memberi Anda distribusi yang lebih miring

Anda dapat menggunakan alat grafik online untuk mendapatkan ide-ide kasar tentang perilaku yang diberikan persamaan yang berbeda sebelum Anda menempatkannya, atau Anda bisa bermain-main dengan persamaan langsung dalam sistem partikel Anda, tergantung gaya apa yang lebih sesuai dengan selera Anda.

EDIT

Untuk sesuatu seperti sistem partikel di mana waktu CPU per partikel sangat penting, menggunakan Math.Pow (atau bahasa yang setara) secara langsung dapat menyebabkan penurunan kinerja. Jika lebih banyak kinerja diinginkan, dan nilainya tidak diubah dalam run-time, pertimbangkan beralih ke fungsi yang setara seperti x * x alih-alih x ^ 2.

(Eksponen pecahan bisa lebih merupakan masalah, tetapi seseorang dengan latar belakang matematika yang lebih kuat daripada saya mungkin bisa datang dengan cara yang baik untuk membuat fungsi perkiraan)

Istilah yang Anda cari adalah Weighted Random Numbers, sebagian besar algoritma yang saya lihat menggunakan fungsi trigonometri, tapi saya pikir saya menemukan cara yang akan efisien:

Buat tabel / array / Daftar (apa pun) yang menyimpan nilai pengganda untuk fungsi acak. Isi dengan tangan atau secara terprogram ...

randMulti= {.1,.1,.1,.1,.1,.1,.2,.2,.3,.3,.9,1,1,1,} 

... lalu Kalikan randomdengan yang dipilih secara acak randMultidan akhirnya dengan Nilai maksimum dari distribusi ...

weightedRandom = math.random()*randMulti[Math.random(randMulti.length)]*maxValue

Saya percaya bahwa ini akan jauh lebih cepat daripada menggunakan sqrt, atau fungsi komputasional yang lebih kompleks lainnya, dan akan memungkinkan lebih banyak pola pengelompokan kustom.

Saya pikir yang Anda minta adalah distribusi yang dicapai menggunakan fungsi akar kuadrat.

[position] = sqrt(rand(0, 1))

Ini akan memberikan distribusi dalam bidang dimensi tunggal di [0, 1]mana probabilitas untuk suatu posisi setara dengan posisi itu, yaitu "distribusi segitiga".

Generasi bebas squareroot alternatif:

[position] = 1-abs(rand(0, 1)-rand(0, 1))

Root kuadrat dalam implementasi optimal hanya beberapa perintah perkalian dan jumlah tanpa cabang. (Lihat: http://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root ). Salah satu dari dua fungsi ini yang lebih cepat dapat bervariasi tergantung pada platform dan generator acak. Sebagai contoh, pada platform x86 hanya dibutuhkan beberapa cabang yang tidak dapat diprediksi dalam generator acak untuk membuat metode kedua lebih lambat.

Cukup gunakan distribusi Beta:

• Beta (1,1) datar
• Beta (1,2) adalah gradien linier
• Beta (1,3) adalah kuadratik

dll.

Dua parameter bentuk tidak harus berupa bilangan bulat.

Lebih sederhana, tergantung pada kecepatan generator acak Anda, Anda hanya dapat menghasilkan dua nilai dan rata-rata.

Atau, bahkan lebih sederhana, di mana X adalah hasil dari Ping, pertama double y = double(1/x);, x = y*[maximum return value of rng];. Ini akan menimbang angka secara eksponensial ke angka yang lebih rendah.

Hasilkan dan ratakan lebih banyak nilai untuk meningkatkan kemungkinan mendapatkan nilai lebih dekat ke pusat.

Tentu saja ini hanya berfungsi untuk distribusi kurva lonceng standar atau versi "terlipat" *, tetapi dengan generator cepat, mungkin lebih cepat dan lebih sederhana daripada menggunakan berbagai fungsi matematika seperti sqrt.

Anda dapat menemukan segala macam penelitian tentang ini untuk kurva lonceng dadu. Faktanya, Anydice.com adalah situs bagus yang menghasilkan grafik untuk berbagai metode rolling dadu. Meskipun Anda menggunakan RNG, premisnya sama, seperti hasilnya. Jadi ini adalah tempat yang bagus untuk melihat distribusi bahkan sebelum mengkodekannya.

* Selain itu, Anda dapat "melipat" distribusi hasil di sepanjang sumbu dengan mengambil sumbu dan mengurangi hasil rata-rata kemudian menambahkan sumbu. Misalnya, Anda ingin nilai yang lebih rendah menjadi lebih umum, dan katakanlah Anda ingin 15 menjadi nilai minimum Anda dan 35 menjadi nilai maksimal Anda, kisaran 20. Jadi, Anda menghasilkan dan rata-rata bersama dua nilai dengan kisaran 20 ( dua kali rentang yang Anda inginkan), yang akan memberikan bellcurve yang berpusat pada 20 (kami kurangi lima di akhir untuk menggeser kisaran dari 20 menjadi 40, menjadi 15 hingga 35). Ambil angka yang dihasilkan X dan Y.

Angka terakhir,

z =(x+y)/2;// average them
If (z<20){z = (20-z)+20;}// fold if below axis
return z-5;// return value adjusted to desired range

Jika nol adalah minimum Anda, bahkan lebih baik, lakukan ini sebagai gantinya,

z= (x+y)/2;
If (z<20){z = 20-z;}
else {z = z - 20;}
return z;