Ketika kurva terdiri dari segmen garis, maka semua titik interior segmen tersebut adalah titik belok, yang tidak menarik. Sebagai gantinya, kurva harus dianggap sebagai didekati oleh simpul dari segmen tersebut. Dengan melipatgandakan kurva yang dapat didiferensiasi dua kali melalui segmen-segmen tersebut, kita dapat menghitung kelengkungannya. Titik belok, sebenarnya, adalah tempat di mana kelengkungannya nol.
Dalam contoh ada peregangan gondrong di mana kelengkungan hampir nol. Ini menunjukkan bahwa titik-titik yang diindikasikan harus mendekati ujung bentangan seperti daerah berlengkungan rendah.
Algoritme yang efektif karena itu akan melakukan spline simpul, menghitung kelengkungan di sepanjang set padat titik menengah, mengidentifikasi rentang kelengkungan mendekati nol (menggunakan beberapa perkiraan yang masuk akal dari apa artinya menjadi "dekat"), dan menandai titik akhir dari rentang tersebut .
Berikut adalah Rkode yang berfungsi untuk menggambarkan ide-ide ini. Mari kita mulai dengan string garis yang dinyatakan sebagai urutan koordinat:
xy <- matrix(c(5,20, 3,18, 2,19, 1.5,16, 5.5,9, 4.5,8, 3.5,12, 2.5,11, 3.5,3,
2,3, 2,6, 0,6, 2.5,-4, 4,-5, 6.5,-2, 7.5,-2.5, 7.7,-3.5, 6.5,-8), ncol=2, byrow=TRUE)
Spline koordinat x dan y secara terpisah untuk mencapai parameterisasi kurva. (Parameter akan dipanggil time.)
n <- dim(xy)[1]
fx <- splinefun(1:n, xy[,1], method="natural")
fy <- splinefun(1:n, xy[,2], method="natural")
Interpolasi splines untuk merencanakan dan menghitung:
time <- seq(1,n,length.out=511)
uv <- sapply(time, function(t) c(fx(t), fy(t)))
Kita membutuhkan fungsi untuk menghitung kelengkungan kurva parameter. Perlu memperkirakan turunan pertama dan kedua dari spline. Dengan banyak splines (seperti splines kubik) ini adalah perhitungan aljabar yang mudah. Rmenyediakan tiga turunan pertama secara otomatis. (Di lingkungan lain, seseorang mungkin ingin menghitung turunan secara numerik.)
curvature <- function(t, fx, fy) {
# t is an argument to spline functions fx and fy.
xp <- fx(t,1); yp <- fy(t,1) # First derivatives
xpp <- fx(t,2); ypp <- fy(t,2) # Second derivatives
v <- sqrt(xp^2 + yp^2) # Speed
(xp*ypp - yp*xpp) / v^3 # (Signed) curvature
# (Left turns have positive curvature; right turns, negative.)
}
kappa <- abs(curvature(time, fx, fy)) # Absolute curvature of the data
Saya mengusulkan untuk memperkirakan ambang batas untuk kelengkungan nol dalam hal luasnya kurva. Setidaknya ini adalah titik awal yang baik; itu harus disesuaikan sesuai dengan tortuosity kurva (yaitu, meningkat untuk kurva yang lebih panjang). Ini nantinya akan digunakan untuk mewarnai plot sesuai dengan kelengkungan.
curvature.zero <- 2*pi / max(range(xy[,1]), range(xy[,2])) # A small threshold
i.col <- 1 + floor(127 * curvature.zero/(curvature.zero + kappa))
palette(terrain.colors(max(i.col))) # Colors
Sekarang setelah simpul telah dibulatkan dan kelengkungan dihitung, itu tetap hanya untuk menemukan titik belok . Untuk menunjukkan kepada mereka, kita dapat merencanakan simpul, plot spline, dan menandai titik belok di atasnya.
plot(xy, asp=1, xlab="x",ylab="y", type="n")
tmp <- sapply(2:length(kappa), function(i) lines(rbind(uv[,i-1],uv[,i]), lwd=2, col=i.col[i]))
points(t(sapply(time[diff(kappa < curvature.zero/2) != 0],
function(t) c(fx(t), fy(t)))), pch=19, col="Black")
points(xy)
Titik terbuka adalah simpul asli xydan titik hitam adalah titik belok yang secara otomatis diidentifikasi dengan algoritma ini. Karena lengkungan tidak dapat dihitung secara andal di titik akhir kurva, titik-titik tersebut tidak ditandai secara khusus.
