Paket Raster Terjemahan Moran's I

Saya menggunakan paket raster untuk menghitung Moran's I lokal. Contoh ini memberikan kisaran Moran's I antara - 1 hingga 2.47. Pada data saya sendiri, saya telah melihat kisaran nilai -3.070423 - 7.228558 Bagaimana nilai Moran 'I lebih besar dari 1? Sebagian besar literatur menunjukkan nilai global Moran's I adalah antara -1 dan 1. Apa yang saya nilai Moran lokal lebih besar dari 1 artinya sebagaimana diterapkan oleh paket Raster?

#data
r <- raster(nrows=10, ncols=10)
r[] <- 1:ncell(r)
plot(r)

Data

#local Moran's I 
x1 <- MoranLocal(r)
plot(x1)

Moran lokal saya

raster r spatial-statistics autocorrelation

— Arihant
sumber

Komentar Anda tentang "sebagian besar literatur" mungkin membingungkan Moran's I global (yang biasanya terletak antara -1 dan 1) dan nilai - nilai lokal , yang dapat memiliki rentang luas sewenang-wenang (tergantung pada berapa banyak sel raster yang ada).

— Whuber

Formula untuk global Moran's I adalah:

$I = \frac{N} {\sum_{i} \sum_{j} w_{ij}}\frac {\sum_i\sum_jw_{ij}(X_i-\bar X) (X_j-\bar X)} {\sum_i (X_i-\bar X)^2}$

di mana i adalah indeks unit analisis (pada dasarnya, unit pengukuran peta Anda, atau dalam pixel kasus Anda di raster) dan j adalah indeks tetangga dari masing-masing unit peta. Rumus untuk Moran lokal I sangat mirip, kecuali bahwa karena Moran lokal I dihitung secara terpisah untuk setiap unit analisis yang diindeks oleh i , di bagian atas fraksi Anda tidak perlu menjumlahkan lebih dari i :

$I_i = N(X_i-\bar X)\frac {\sum_jw_{ij} (X_j-\bar X)} {\sum_i (X_i-\bar X)^2$

Nilai untuk $X_i$ dan $X_j$ akan didistribusikan di sekitar nilai tengah, jadi, secara intuitif, di seluruh area studi, cluster tinggi dan rendah akan saling mengimbangi dan global Moran, saya akan dibatasi untuk berada di antara -1 dan 1. Tetapi untuk Moran's I lokal, sebuah cluster (tinggi, rendah, tidak masalah) akan terdiri dari nilai-nilai di mana $X_i$ dan $X_j$ menyimpang secara signifikan dari rata-rata, dan oleh karena itu bagian atas dari fraksi dalam persamaan kedua akan besar dalam nilai absolut, jauh lebih besar daripada penyimpangan global dari berarti ditangkap di bagian bawah fraksi oleh $(X_i-\bar X)^2$ .

Dalam contoh yang Anda buat, Anda bisa melihatnya dengan jelas. Baris atas adalah nilai rendah, baris tengah dekat rata-rata, dan baris bawah adalah nilai tinggi. Karena itu, seperti yang diperlihatkan dalam plot kedua Anda, Moran lokal I tinggi di baris atas dan bawah, karena baris-baris itu mengandung nilai yang jauh dari nilai tengah. Local Moran's I berada di dekat 0 di baris tengah, karena nilai-nilai itu semuanya mendekati mean. Contoh Anda tidak menunjukkan dispersi (pola kotak-kotak klasik), jadi Moran lokal saya tidak negatif di mana pun.

Mari kita hitung $I_i$ dengan tangan untuk salah satu piksel. Pixel nomor 15 memiliki delapan tetangga dengan nilai 4, 5, 6, 14, 16, 24, 25, 26. Jadi:

x = 1:100
Ii = length(x) * 
  (15 - mean(x)) * 
  sum(1 * (c(4, 5, 6, 14, 16, 24, 25, 26) - mean(x))) / 
  sum((x - mean(x))^2)
Ii
# [1] 12.09961

Kebetulan, ini tidak sama dengan nilai yang sama untuk piksel 15 yang diproduksi oleh MoranLocal:

x1[15]
# 1.512451

Pada awalnya saya pikir saya melakukan sesuatu yang salah, jadi saya membuat grid vektor 10x10 dalam format vektor yang merupakan analog tepat dari raster 10x10 dan menjalankannya melalui localmoranfungsi dalam paket spdep. Ternyata yang MoranLocalmenghitung $I_i$ menggunakan matriks bobot baris-standar, sedangkan rumus yang saya masukkan di atas didasarkan pada menggunakan matriks kedekatan ratu biner sederhana. spdepmemberi Anda kendali atas opsi-opsi ini. Menggunakan matriks standar-baris, $w_{ij}$ adalah 1/8 (delapan tetangga dengan 1/8 masing-masing jumlah ke 1), jadi:

x = 1:100
Ii = length(x) * 
  (15 - mean(x)) * 
  sum(0.125 * (c(4, 5, 6, 14, 16, 24, 25, 26) - mean(x))) / 
  sum((x - mean(x))^2)
Ii
# [1] 1.512451

Sumber asli untuk Moran lokal I adalah Anselin (1995), "Indikator Lokal dari Asosiasi Spasial — LISA" (tampaknya merupakan akses terbuka).

— Lee Hachadoorian
sumber