Apakah kode ini selalu bernilai false? Kedua variabel adalah int yang ditandatangani dua komplemen.

~x + ~y == ~(x + y)

Saya merasa harus ada beberapa nomor yang memenuhi persyaratan. Saya mencoba menguji angka antara -5000dan 5000tetapi tidak pernah mencapai kesetaraan. Apakah ada cara untuk membuat persamaan untuk menemukan solusi untuk kondisi tersebut?

Apakah bertukar satu dengan yang lain menyebabkan bug yang berbahaya dalam program saya?

Asumsikan demi kontradiksi bahwa ada beberapa xdan beberapa y(mod 2 ⁿ ) sedemikian rupa

~(x+y) == ~x + ~y

Dengan komplemen dua *, kita tahu itu,

      -x == ~x + 1
<==>  -1 == ~x + x

Memperhatikan hasil ini, kami memiliki,

      ~(x+y) == ~x + ~y
<==>  ~(x+y) + (x+y) == ~x + ~y + (x+y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == (~x + x) + (~y + y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -1 + -1
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -2
<==>  -1 == -2

Karena itu, kontradiksi. Karena itu, ~(x+y) != ~x + ~yuntuk semua xdan y(mod 2 ⁿ ).

^{* Sangat menarik untuk dicatat bahwa pada mesin dengan aritmatika komplemen seseorang, kesetaraan sebenarnya berlaku untuk semua xdan y. Ini karena di bawah komplemen seseorang ~x = -x,. Jadi ~x + ~y == -x + -y == -(x+y) == ~(x+y),.}

Dua komplemen

Pada sebagian besar komputer, jika xbilangan bulat, maka -xdinyatakan sebagai ~x + 1. Setara ~x == -(x + 1),. Membuat subtitusi ini dalam persamaan Anda memberi:

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• - (x + 1) + - (y + 1) = - ((x + y) + 1)
• -x - y - 2 = -x - y - 1
• -2 = -1

yang merupakan kontradiksi, jadi ~x + ~y == ~(x + y)selalu salah .

Yang mengatakan, para pedant akan menunjukkan bahwa C tidak memerlukan pelengkap dua, jadi kita juga harus mempertimbangkan ...

Komplemen seseorang

Dalam pelengkap seseorang , -xhanya direpresentasikan sebagai ~x. Nol adalah kasus khusus, memiliki representasi all-0's ( +0) dan all-1's ( -0), tetapi IIRC, C membutuhkan +0 == -0bahkan jika mereka memiliki pola bit yang berbeda, jadi ini seharusnya tidak menjadi masalah. Cukup gantikan ~dengan -.

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• -x + (-y) = - (x + y)

yang berlaku untuk semua xdan y.

Pertimbangkan hanya bit paling kanan dari keduanya xdan y(IE. Jika x == 13yang ada 1101di basis 2, kita hanya akan melihat bit terakhir, a 1) Lalu ada empat kemungkinan kasus:

x = 0, y = 0:

LHS: ~ 0 + ~ 0 => 1 + 1 => 10
RHS: ~ (0 + 0) => ~ 0 => 1

x = 0, y = 1:

LHS: ~ 0 + ~ 1 => 1 + 0 => 1
RHS: ~ (0 + 1) => ~ 1 => 0

x = 1, y = 0:

Saya akan menyerahkan ini kepada Anda karena ini adalah pekerjaan rumah (petunjuk: ini sama dengan yang sebelumnya dengan x dan y bertukar).

x = 1, y = 1:

Saya akan menyerahkan yang ini juga untuk Anda.

Anda dapat menunjukkan bahwa bit paling kanan akan selalu berbeda di Sisi Kiri dan Sisi Kanan dari persamaan yang diberikan input apa pun, jadi Anda telah membuktikan bahwa kedua belah pihak tidak sama, karena mereka memiliki setidaknya satu bit yang dibalik dari satu orang ke orang lainnya.

Jika jumlah bit adalah n

~x = (2^n - 1) - x
~y = (2^n - 1) - y


~x + ~y = (2^n - 1) +(2^n - 1) - x - y =>  (2^n + (2^n - 1) - x - y ) - 1 => modulo: (2^n - 1) - x - y - 1.

Sekarang,

 ~(x + y) = (2^n - 1) - (x + y) = (2^n - 1) - x - y.

Karenanya, mereka akan selalu tidak setara, dengan selisih 1.

Petunjuk:

x + ~x = -1(mod 2 ⁿ )

Dengan asumsi tujuan dari pertanyaan ini adalah menguji matematika Anda (daripada keterampilan membaca-C-spesifikasi Anda), ini akan membuat Anda mendapatkan jawabannya.

Dalam komplemen satu dan dua (dan bahkan di 42), ini dapat dibuktikan:

~x + ~y == ~(x + a) + ~(y - a)

Sekarang biarkan a = ydan kita punya:

~x + ~y == ~(x + y) + ~(y - y)

atau:

~x + ~y == ~(x + y) + ~0

Karena itu dalam komplemen dua itu ~0 = -1, proposisi itu salah.

Dalam pelengkap seseorang itu ~0 = 0, proposisi itu benar.

Menurut buku karya Dennis Ritchie, C tidak mengimplementasikan komplemen dua secara default. Karena itu, pertanyaan Anda mungkin tidak selalu benar.

Membiarkan MAX_INTint diwakili oleh 011111...111(karena betapapun banyaknya bit). Maka Anda tahu itu, ~x + x = MAX_INTdan ~y + y = MAX_INTkarena itu Anda akan tahu pasti bahwa perbedaan antara ~x + ~ydan ~(x + y)adalah 1.

C tidak mensyaratkan bahwa komplemen dua menjadi apa yang diterapkan. Namun, untuk integer unsigned, logika yang serupa diterapkan. Perbedaan akan selalu menjadi 1 di bawah logika ini!

Tentu saja, C tidak memerlukan perilaku ini karena tidak memerlukan representasi komplemen dua. Misalnya, ~x = (2^n - 1) - x& ~y = (2^n - 1) - yakan mendapatkan hasil ini.

Ah, matematika diskrit mendasar!

Lihat Hukum De Morgan

~x & ~y == ~(x | y)

~x | ~y == ~(x & y)

Sangat penting untuk bukti Boolean!