Bagaimana cara menentukan apakah daftar titik poligon berurutan searah jarum jam?

Memiliki daftar poin, bagaimana saya menemukan jika mereka berada dalam urutan searah jarum jam?

Sebagai contoh:

point[0] = (5,0)
point[1] = (6,4)
point[2] = (4,5)
point[3] = (1,5)
point[4] = (1,0)

akan mengatakan bahwa itu berlawanan arah jarum jam (atau berlawanan arah jarum jam, bagi sebagian orang).

Beberapa metode yang disarankan akan gagal dalam kasus poligon non-cembung, seperti bulan sabit. Berikut ini adalah salah satu yang sederhana yang akan bekerja dengan poligon non-cembung (bahkan akan bekerja dengan poligon berpotongan sendiri seperti angka delapan, memberi tahu Anda apakah sebagian besar searah jarum jam).

Jumlahkan ujung-ujungnya, (x ₂ - x ₁ ) (y ₂ + y ₁ ). Jika hasilnya positif kurva searah jarum jam, jika negatif maka kurva berlawanan arah jarum jam. (Hasilnya adalah dua kali area tertutup, dengan konvensi +/-.)

point[0] = (5,0)   edge[0]: (6-5)(4+0) =   4
point[1] = (6,4)   edge[1]: (4-6)(5+4) = -18
point[2] = (4,5)   edge[2]: (1-4)(5+5) = -30
point[3] = (1,5)   edge[3]: (1-1)(0+5) =   0
point[4] = (1,0)   edge[4]: (5-1)(0+0) =   0
                                         ---
                                         -44  counter-clockwise

Produk silang mengukur tingkat tegak lurus dua vektor. Bayangkan bahwa setiap tepi poligon Anda adalah vektor dalam bidang xy dari ruang xyz tiga dimensi (3-D). Maka produk silang dari dua sisi yang berurutan adalah vektor dalam arah-z, (arah-z positif jika segmen kedua searah jarum jam, minus arah-z jika berlawanan arah jarum jam). Besarnya vektor ini sebanding dengan sinus sudut antara dua tepi asli, sehingga mencapai maksimum ketika mereka tegak lurus, dan berangsur-angsur menghilang ketika ujung-ujungnya adalah collinear (paralel).

Jadi, untuk setiap titik (titik) poligon, hitung besarnya produk-silang dari dua sisi yang bersebelahan:

Using your data:
point[0] = (5, 0)
point[1] = (6, 4)
point[2] = (4, 5)
point[3] = (1, 5)
point[4] = (1, 0)

Jadi beri label pada tepinya secara berurutan seperti
edgeAsegmen dari point0ke point1dan
edgeBantara point1ke point2
...
edgeEadalah antara point4dan point0.

Kemudian Vertex A ( point0) berada di antara
edgeE[Dari point4ke point0]
edgeA[Dari point0ke `titik1 '

Kedua tepi ini sendiri adalah vektor, yang koordinat x dan y dapat ditentukan dengan mengurangi koordinat titik awal dan akhir mereka:

edgeE= point0-point4 = (1, 0) - (5, 0)= (-4, 0) dan
edgeA= point1- point0= (6, 4) - (1, 0)= (5, 4) dan

Dan produk silang dari dua tepi ini berdampingan dihitung dengan menggunakan determinan dari matriks berikut, yang dibangun dengan menempatkan koordinat dua vektor di bawah simbol yang mewakili tiga sumbu koordinat ( i, j, & k). Koordinat bernilai-ketiga (nol) ada karena konsep produk silang adalah konstruk 3-D, jadi kami memperluas vektor 2-D ini menjadi 3-D untuk menerapkan produk-silang:

 i    j    k 
-4    0    0
 1    4    0    

Mengingat bahwa semua produk silang menghasilkan vektor tegak lurus terhadap bidang dua vektor yang dikalikan, penentu matriks di atas hanya memiliki kkomponen, (atau sumbu z).
Rumus untuk menghitung besarnya kkomponen sumbu z adalah
a1*b2 - a2*b1 = -4* 4 - 0* 1 = -16

Besarnya nilai ini ( -16), adalah ukuran sinus sudut antara 2 vektor asli, dikalikan dengan produk dari besarnya 2 vektor.
Sebenarnya, formula lain untuk nilainya adalah
A X B (Cross Product) = |A| * |B| * sin(AB).

Jadi, untuk kembali ke ukuran sudut yang Anda butuhkan untuk membagi nilai ini, ( -16), dengan produk dari besarnya dua vektor.

|A| * |B| = 4 * Sqrt(17) =16.4924...

Jadi ukuran dosa (AB) = -16 / 16.4924 =-.97014...

Ini adalah ukuran apakah segmen berikutnya setelah simpul telah membungkuk ke kiri atau ke kanan, dan seberapa banyak. Tidak perlu minum arc-sinus. Yang akan kita pedulikan hanyalah besarnya, dan tentu saja tandanya (positif atau negatif)!

Lakukan ini untuk masing-masing 4 poin lainnya di sekitar jalur tertutup, dan tambahkan nilai-nilai dari perhitungan ini di setiap titik.

Jika jumlah akhir positif, Anda bergerak searah jarum jam, negatif, berlawanan arah jarum jam.

Saya kira ini adalah pertanyaan yang cukup lama, tapi saya akan membuang solusi lain, karena itu mudah dan tidak intensif secara matematis - itu hanya menggunakan aljabar dasar. Hitung area poligon yang sudah ditandatangani. Jika negatif, poin berada dalam urutan searah jarum jam, jika positif mereka berlawanan arah jarum jam. (Ini sangat mirip dengan solusi Beta.)

Hitung area yang ditandatangani: A = 1/2 * (x ₁ * y ₂ - x ₂ * y ₁ + x ₂ * y ₃ - x ₃ * y ₂ + ... + x _n * y ₁ - x ₁ * y _n )

Atau dalam pseudo-code:

signedArea = 0
for each point in points:
    x1 = point[0]
    y1 = point[1]
    if point is last point
        x2 = firstPoint[0]
        y2 = firstPoint[1]
    else
        x2 = nextPoint[0]
        y2 = nextPoint[1]
    end if

    signedArea += (x1 * y2 - x2 * y1)
end for
return signedArea / 2

Perhatikan bahwa jika Anda hanya memeriksa pemesanan, Anda tidak perlu repot membaginya dengan 2.

Sumber: http://mathworld.wolfram.com/PolygonArea.html

Temukan simpul dengan y terkecil (dan x terbesar jika ada ikatan). Biarkan simpul menjadi Adan simpul sebelumnya dalam daftar menjadi Bdan simpul berikutnya dalam daftar menjadi C. Sekarang hitung tanda produk silang dari ABdan AC.

Referensi:

• Bagaimana cara menemukan orientasi poligon sederhana? dalam Pertanyaan yang Sering Diajukan: comp.graphics.algorithms .

• Orientasi kurva di Wikipedia.

Berikut ini adalah implementasi algoritma C # sederhana berdasarkan jawaban ini .

Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki Vectortipe Xdan Yproperti tipe double.

public bool IsClockwise(IList<Vector> vertices)
{
    double sum = 0.0;
    for (int i = 0; i < vertices.Count; i++) {
        Vector v1 = vertices[i];
        Vector v2 = vertices[(i + 1) % vertices.Count];
        sum += (v2.X - v1.X) * (v2.Y + v1.Y);
    }
    return sum > 0.0;
}

%adalah modulo atau operator sisa yang melakukan operasi modulo yang ( menurut Wikipedia ) menemukan sisanya setelah pembagian satu angka dengan yang lain.

Mulai dari salah satu simpul, dan hitung sudut yang digantikan oleh setiap sisi.

Yang pertama dan yang terakhir akan menjadi nol (jadi lewati itu); untuk selebihnya, sinus sudut akan diberikan oleh produk silang dari normalisasi ke satuan panjang (titik [n]-titik [0]) dan (titik [n-1]-titik [0]).

Jika jumlah nilai-nilai itu positif, maka poligon Anda digambar dalam arti anti-searah jarum jam.

Untuk apa nilainya, saya menggunakan mixin ini untuk menghitung urutan berliku untuk aplikasi Google Maps API v3.

Kode memanfaatkan efek samping dari area poligon: urutan simpul berliku searah jarum jam menghasilkan area positif, sedangkan urutan berliku berlawanan arah jarum jam dari titik yang sama menghasilkan area yang sama dengan nilai negatif. Kode juga menggunakan semacam API pribadi di perpustakaan geometri Google Maps. Saya merasa nyaman menggunakannya - gunakan dengan risiko Anda sendiri.

Penggunaan sampel:

var myPolygon = new google.maps.Polygon({/*options*/});
var isCW = myPolygon.isPathClockwise();

Contoh lengkap dengan unit test @ http://jsfiddle.net/stevejansen/bq2ec/

/** Mixin to extend the behavior of the Google Maps JS API Polygon type
 *  to determine if a polygon path has clockwise of counter-clockwise winding order.
 *  
 *  Tested against v3.14 of the GMaps API.
 *
 *  @author  stevejansen_github@icloud.com
 *
 *  @license http://opensource.org/licenses/MIT
 *
 *  @version 1.0
 *
 *  @mixin
 *  
 *  @param {(number|Array|google.maps.MVCArray)} [path] - an optional polygon path; defaults to the first path of the polygon
 *  @returns {boolean} true if the path is clockwise; false if the path is counter-clockwise
 */
(function() {
  var category = 'google.maps.Polygon.isPathClockwise';
     // check that the GMaps API was already loaded
  if (null == google || null == google.maps || null == google.maps.Polygon) {
    console.error(category, 'Google Maps API not found');
    return;
  }
  if (typeof(google.maps.geometry.spherical.computeArea) !== 'function') {
    console.error(category, 'Google Maps geometry library not found');
    return;
  }

  if (typeof(google.maps.geometry.spherical.computeSignedArea) !== 'function') {
    console.error(category, 'Google Maps geometry library private function computeSignedArea() is missing; this may break this mixin');
  }

  function isPathClockwise(path) {
    var self = this,
        isCounterClockwise;

    if (null === path)
      throw new Error('Path is optional, but cannot be null');

    // default to the first path
    if (arguments.length === 0)
        path = self.getPath();

    // support for passing an index number to a path
    if (typeof(path) === 'number')
        path = self.getPaths().getAt(path);

    if (!path instanceof Array && !path instanceof google.maps.MVCArray)
      throw new Error('Path must be an Array or MVCArray');

    // negative polygon areas have counter-clockwise paths
    isCounterClockwise = (google.maps.geometry.spherical.computeSignedArea(path) < 0);

    return (!isCounterClockwise);
  }

  if (typeof(google.maps.Polygon.prototype.isPathClockwise) !== 'function') {
    google.maps.Polygon.prototype.isPathClockwise = isPathClockwise;
  }
})();

Implementasi jawaban Sean dalam JavaScript:

function calcArea(poly) {
    if(!poly || poly.length < 3) return null;
    let end = poly.length - 1;
    let sum = poly[end][0]*poly[0][1] - poly[0][0]*poly[end][1];
    for(let i=0; i<end; ++i) {
        const n=i+1;
        sum += poly[i][0]*poly[n][1] - poly[n][0]*poly[i][1];
    }
    return sum;
}

function isClockwise(poly) {
    return calcArea(poly) > 0;
}

let poly = [[352,168],[305,208],[312,256],[366,287],[434,248],[416,186]];

console.log(isClockwise(poly));

let poly2 = [[618,186],[650,170],[701,179],[716,207],[708,247],[666,259],[637,246],[615,219]];

console.log(isClockwise(poly2));

Cukup yakin ini benar. Tampaknya berfungsi :-)

Poligon tersebut terlihat seperti ini, jika Anda bertanya-tanya:

Ini adalah fungsi yang diimplementasikan untuk OpenLayers 2 . Kondisi untuk memiliki poligon searah jarum jam adalah area < 0, itu dikonfirmasi oleh referensi ini .

function IsClockwise(feature)
{
    if(feature.geometry == null)
        return -1;

    var vertices = feature.geometry.getVertices();
    var area = 0;

    for (var i = 0; i < (vertices.length); i++) {
        j = (i + 1) % vertices.length;

        area += vertices[i].x * vertices[j].y;
        area -= vertices[j].x * vertices[i].y;
        // console.log(area);
    }

    return (area < 0);
}

Jika Anda menggunakan Matlab, fungsi ispolycwmengembalikan true jika simpul poligon berada dalam urutan searah jarum jam.

Sebagaimana juga dijelaskan dalam artikel Wikipedia ini , orientasi Kurva , diberikan 3 poin p, qdan rdi pesawat (yaitu dengan koordinat x dan y), Anda dapat menghitung tanda dari penentu berikut

Jika penentu negatif (yaitu Orient(p, q, r) < 0), maka poligon berorientasi searah jarum jam (CW). Jika penentu positif (yaitu Orient(p, q, r) > 0), poligon berorientasi berlawanan arah jarum jam (CCW). Determinan adalah nol (yaitu Orient(p, q, r) == 0) jika poin p, qdan ryang collinear .

Dalam rumus di atas, kami menambahkan yang di depan koordinat p, q dan rkarena kami menggunakan koordinat homogen .

Saya pikir agar beberapa poin diberikan searah jarum jam, semua sisi harus positif, bukan hanya jumlah sisi. Jika satu sisi negatif dari setidaknya 3 poin diberikan berlawanan arah jarum jam.

Solusi C # / LINQ saya didasarkan pada saran lintas produk dari @charlesbretana di bawah ini. Anda dapat menentukan referensi normal untuk belitan. Ini harus bekerja selama kurva sebagian besar di bidang didefinisikan oleh vektor atas.

using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Numerics;

namespace SolidworksAddinFramework.Geometry
{
    public static class PlanePolygon
    {
        /// <summary>
        /// Assumes that polygon is closed, ie first and last points are the same
        /// </summary>
       public static bool Orientation
           (this IEnumerable<Vector3> polygon, Vector3 up)
        {
            var sum = polygon
                .Buffer(2, 1) // from Interactive Extensions Nuget Pkg
                .Where(b => b.Count == 2)
                .Aggregate
                  ( Vector3.Zero
                  , (p, b) => p + Vector3.Cross(b[0], b[1])
                                  /b[0].Length()/b[1].Length());

            return Vector3.Dot(up, sum) > 0;

        } 

    }
}

dengan tes unit

namespace SolidworksAddinFramework.Spec.Geometry
{
    public class PlanePolygonSpec
    {
        [Fact]
        public void OrientationShouldWork()
        {

            var points = Sequences.LinSpace(0, Math.PI*2, 100)
                .Select(t => new Vector3((float) Math.Cos(t), (float) Math.Sin(t), 0))
                .ToList();

            points.Orientation(Vector3.UnitZ).Should().BeTrue();
            points.Reverse();
            points.Orientation(Vector3.UnitZ).Should().BeFalse();



        } 
    }
}

Ini solusi saya menggunakan penjelasan di jawaban lain:

def segments(poly):
    """A sequence of (x,y) numeric coordinates pairs """
    return zip(poly, poly[1:] + [poly[0]])

def check_clockwise(poly):
    clockwise = False
    if (sum(x0*y1 - x1*y0 for ((x0, y0), (x1, y1)) in segments(poly))) < 0:
        clockwise = not clockwise
    return clockwise

poly = [(2,2),(6,2),(6,6),(2,6)]
check_clockwise(poly)
False

poly = [(2, 6), (6, 6), (6, 2), (2, 2)]
check_clockwise(poly)
True

Metode yang jauh lebih sederhana secara komputasi, jika Anda sudah tahu titik di dalam poligon :

1. Pilih segmen garis mana saja dari poligon asli, titik, dan koordinatnya dalam urutan itu.

2. Tambahkan titik "di dalam" yang diketahui, dan bentuk segitiga.

3. Hitung CW atau CCW seperti yang disarankan di sini dengan tiga poin itu.

Setelah menguji beberapa implementasi yang tidak dapat diandalkan, algoritma yang memberikan hasil memuaskan mengenai orientasi CW / CCW di luar kotak adalah yang diposkan oleh OP di utas ini ( shoelace_formula_3).

Seperti biasa, angka positif mewakili orientasi CW, sedangkan angka negatif CCW.

Inilah solusi cepat 3.0 berdasarkan jawaban di atas:

    for (i, point) in allPoints.enumerated() {
        let nextPoint = i == allPoints.count - 1 ? allPoints[0] : allPoints[i+1]
        signedArea += (point.x * nextPoint.y - nextPoint.x * point.y)
    }

    let clockwise  = signedArea < 0

Solusi lain untuk ini;

const isClockwise = (vertices=[]) => {
    const len = vertices.length;
    const sum = vertices.map(({x, y}, index) => {
        let nextIndex = index + 1;
        if (nextIndex === len) nextIndex = 0;

        return {
            x1: x,
            x2: vertices[nextIndex].x,
            y1: x,
            y2: vertices[nextIndex].x
        }
    }).map(({ x1, x2, y1, y2}) => ((x2 - x1) * (y1 + y2))).reduce((a, b) => a + b);

    if (sum > -1) return true;
    if (sum < 0) return false;
}

Ambil semua simpul sebagai array seperti ini;

const vertices = [{x: 5, y: 0}, {x: 6, y: 4}, {x: 4, y: 5}, {x: 1, y: 5}, {x: 1, y: 0}];
isClockwise(vertices);

Solusi untuk R untuk menentukan arah dan membalikkan jika searah jarum jam (merasa perlu untuk objek owin):

coords <- cbind(x = c(5,6,4,1,1),y = c(0,4,5,5,0))
a <- numeric()
for (i in 1:dim(coords)[1]){
  #print(i)
  q <- i + 1
  if (i == (dim(coords)[1])) q <- 1
  out <- ((coords[q,1]) - (coords[i,1])) * ((coords[q,2]) + (coords[i,2]))
  a[q] <- out
  rm(q,out)
} #end i loop

rm(i)

a <- sum(a) #-ve is anti-clockwise

b <- cbind(x = rev(coords[,1]), y = rev(coords[,2]))

if (a>0) coords <- b #reverses coords if polygon not traced in anti-clockwise direction

Walaupun jawaban ini benar, secara matematis mereka lebih kuat daripada yang diperlukan. Asumsikan koordinat peta, di mana titik paling utara adalah titik tertinggi di peta. Temukan titik paling utara, dan jika 2 titik mengikat, itu adalah yang paling utara lalu paling timur (ini adalah titik yang digunakan lhf dalam jawabannya). Dalam poin Anda,

titik [0] = (5,0)

poin [1] = (6,4)

poin [2] = (4,5)

poin [3] = (1,5)

poin [4] = (1,0)

Jika kita mengasumsikan bahwa P2 adalah yang paling utara maka titik timur baik titik sebelumnya atau berikutnya menentukan searah jarum jam, CW, atau CCW. Karena titik paling utara adalah di wajah utara, jika P1 (sebelumnya) ke P2 bergerak ke timur arahnya adalah CW. Dalam hal ini, ia bergerak ke barat, jadi arahnya adalah CCW sebagaimana jawaban yang diterima mengatakan. Jika titik sebelumnya tidak memiliki gerakan horizontal, maka sistem yang sama berlaku untuk titik berikutnya, P3. Jika P3 berada di sebelah barat P2, berarti, maka pergerakannya adalah CCW. Jika gerakan P2 ke P3 adalah timur, di barat dalam hal ini, gerakannya adalah CW. Asumsikan bahwa nte, P2 dalam data Anda, adalah titik paling utara kemudian timur dan prv adalah titik sebelumnya, P1 dalam data Anda, dan nxt adalah titik berikutnya, P3 dalam data Anda, dan [0] horizontal atau timur / barat di mana barat kurang dari timur, dan [1] vertikal.

if (nte[0] >= prv[0] && nxt[0] >= nte[0]) return(CW);
if (nte[0] <= prv[0] && nxt[0] <= nte[0]) return(CCW);
// Okay, it's not easy-peasy, so now, do the math
if (nte[0] * nxt[1] - nte[1] * nxt[0] - prv[0] * (nxt[1] - crt[1]) + prv[1] * (nxt[0] - nte[0]) >= 0) return(CCW); // For quadrant 3 return(CW)
return(CW) // For quadrant 3 return (CCW)

Kode C # untuk mengimplementasikan jawaban lhf :

// https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_orientation#Orientation_of_a_simple_polygon
public static WindingOrder DetermineWindingOrder(IList<Vector2> vertices)
{
    int nVerts = vertices.Count;
    // If vertices duplicates first as last to represent closed polygon,
    // skip last.
    Vector2 lastV = vertices[nVerts - 1];
    if (lastV.Equals(vertices[0]))
        nVerts -= 1;
    int iMinVertex = FindCornerVertex(vertices);
    // Orientation matrix:
    //     [ 1  xa  ya ]
    // O = | 1  xb  yb |
    //     [ 1  xc  yc ]
    Vector2 a = vertices[WrapAt(iMinVertex - 1, nVerts)];
    Vector2 b = vertices[iMinVertex];
    Vector2 c = vertices[WrapAt(iMinVertex + 1, nVerts)];
    // determinant(O) = (xb*yc + xa*yb + ya*xc) - (ya*xb + yb*xc + xa*yc)
    double detOrient = (b.X * c.Y + a.X * b.Y + a.Y * c.X) - (a.Y * b.X + b.Y * c.X + a.X * c.Y);

    // TBD: check for "==0", in which case is not defined?
    // Can that happen?  Do we need to check other vertices / eliminate duplicate vertices?
    WindingOrder result = detOrient > 0
            ? WindingOrder.Clockwise
            : WindingOrder.CounterClockwise;
    return result;
}

public enum WindingOrder
{
    Clockwise,
    CounterClockwise
}

// Find vertex along one edge of bounding box.
// In this case, we find smallest y; in case of tie also smallest x.
private static int FindCornerVertex(IList<Vector2> vertices)
{
    int iMinVertex = -1;
    float minY = float.MaxValue;
    float minXAtMinY = float.MaxValue;
    for (int i = 0; i < vertices.Count; i++)
    {
        Vector2 vert = vertices[i];
        float y = vert.Y;
        if (y > minY)
            continue;
        if (y == minY)
            if (vert.X >= minXAtMinY)
                continue;

        // Minimum so far.
        iMinVertex = i;
        minY = y;
        minXAtMinY = vert.X;
    }

    return iMinVertex;
}

// Return value in (0..n-1).
// Works for i in (-n..+infinity).
// If need to allow more negative values, need more complex formula.
private static int WrapAt(int i, int n)
{
    // "+n": Moves (-n..) up to (0..).
    return (i + n) % n;
}

Berikut ini implementasi Python 3 sederhana berdasarkan jawaban ini (yang, pada gilirannya, didasarkan pada solusi yang diusulkan dalam jawaban yang diterima )

def is_clockwise(points):
    # points is your list (or array) of 2d points.
    assert len(points) > 0
    s = 0.0
    for p1, p2 in zip(points, points[1:] + [points[0]]):
        s += (p2[0] - p1[0]) * (p2[1] + p1[1])
    return s > 0.0

temukan pusat massa titik-titik ini.

misalkan ada garis dari titik ini ke poin Anda.

temukan sudut antara dua garis untuk line0 line1

daripada melakukannya untuk line1 dan line2

...

...

jika sudut ini meningkat secara monoton daripada berlawanan,

lain jika menurun secara monoton searah jarum jam

lain (tidak monoton)

Anda tidak bisa memutuskan, jadi itu tidak bijaksana