Apakah 2 ^ n dan n * 2 ^ n dalam kompleksitas waktu yang sama?

Sumber daya yang saya temukan pada kompleksitas waktu tidak jelas kapan boleh mengabaikan istilah dalam persamaan kompleksitas waktu, khususnya dengan contoh non-polinomial.

Jelas bagi saya bahwa diberi sesuatu dari bentuk n ² + n + 1, dua istilah terakhir tidak signifikan.

Secara khusus, diberikan dua kategorisasi, 2 ⁿ , dan n * (2 ⁿ ), apakah urutan kedua sama dengan yang pertama? Apakah n perkalian tambahan itu penting? Biasanya sumber daya hanya mengatakan ^xn berada dalam eksponensial dan tumbuh jauh lebih cepat ... kemudian beralih.

Saya bisa mengerti mengapa itu tidak akan karena 2 ⁿ akan jauh melebihi n, tetapi karena mereka tidak ditambahkan bersama-sama, akan sangat penting ketika membandingkan dua persamaan, pada kenyataannya perbedaan di antara mereka akan selalu menjadi faktor n, yang tampaknya penting untuk sedikitnya.

Anda harus pergi ke definisi formal dari O besar ( O) untuk menjawab pertanyaan ini.

Definisi adalah f(x)milik O(g(x))jika dan hanya jika ada batas yaitu tidak terbatas. Singkatnya ini berarti bahwa ada konstanta , sehingga nilai tidak pernah lebih besar dari .limsupx → ∞ (f(x)/g(x))Mf(x)/g(x)M

Dalam hal pertanyaan Anda, biarkan dan biarkan . Maka adalah yang masih akan tumbuh jauh. Karena itu bukan milik .f(n) = n ⋅ 2ng(n) = 2nf(n)/g(n)nf(n)O(g(n))

Cara cepat untuk melihat yang n⋅2ⁿlebih besar adalah dengan membuat perubahan variabel. Mari m = 2ⁿ. Kemudian n⋅2ⁿ = ( log₂m )⋅m(mengambil basis-2 logaritma di kedua sisi m = 2ⁿmemberi n = log₂m), dan Anda dapat dengan mudah menunjukkan bahwa m log₂mtumbuh lebih cepat daripada m.

Saya setuju bahwa n⋅2ⁿtidak ada dalam O(2ⁿ), tetapi saya pikir itu harus lebih eksplisit karena batas penggunaan superior tidak selalu berlaku.

Dengan definisi formal Big-O: f(n)ada di O(g(n))jika ada konstanta c > 0dan n₀ ≥ 0sedemikian rupa sehingga untuk semua yang n ≥ n₀kita miliki f(n) ≤ c⋅g(n). Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa tidak ada konstanta untuk f(n) = n⋅2ⁿdan g(n) = 2ⁿ. Namun, dapat ditunjukkan bahwa g(n)ada di O(f(n)).

Dengan kata lain, n⋅2ⁿlebih rendah dibatasi oleh 2ⁿ. Ini intuitif. Meskipun keduanya eksponensial dan karenanya sama-sama tidak mungkin digunakan dalam sebagian besar situasi praktis, kita tidak dapat mengatakan bahwa keduanya memiliki urutan yang sama karena 2ⁿtentu tumbuh lebih lambat daripada n⋅2ⁿ.

Saya tidak berdebat dengan jawaban lain yang mengatakan bahwa n⋅2ⁿtumbuh lebih cepat daripada 2ⁿ. Tapi n⋅2ⁿtumbuh masih eksponensial.

Ketika kita berbicara tentang algoritma, kita sering mengatakan bahwa kompleksitas waktu tumbuh adalah eksponensial. Jadi, kami anggap 2ⁿ, 3ⁿ, eⁿ, 2.000001ⁿ, atau kami n⋅2ⁿmenjadi kelompok yang sama kompleksitas dengan eksponensial tumbuh.

Untuk memberikan sedikit pengertian matematis, kami menganggap fungsi f(x)untuk tumbuh (tidak lebih cepat dari) secara eksponensial jika ada yang konstan c > 1, yaitu .f(x) = O(cx)

Untuk n⋅2ⁿkonstanta cdapat angka lebih besar dari 2, mari kita ambil3 . Kemudian:

n⋅2ⁿ / 3ⁿ = n ⋅ (2/3)ⁿdan ini kurang dari 1apa pun n.

Jadi 2ⁿtumbuh lebih lambat daripada n⋅2ⁿ, yang terakhir tumbuh lebih lambat daripada 2.000001ⁿ. Namun ketiganya tumbuh secara eksponensial.

Anda bertanya, "Apakah yang kedua dalam urutan yang sama dengan yang pertama? Apakah ada penambahan dan multiplikasi?" Ini adalah dua pertanyaan berbeda dengan dua jawaban berbeda.

n 2 ^ n tumbuh lebih cepat tanpa gejala dari 2 ^ n. Itu pertanyaan yang dijawab.

Tetapi Anda dapat bertanya "apakah algoritma A membutuhkan 2 ^ n nanodetik, dan algoritma B membutuhkan n 2 ^ n nanodetik, apa yang terbesar di mana saya dapat menemukan solusi dalam detik / menit / jam / hari / bulan / tahun? Dan jawabannya adalah n = 29/35/41/46/51/54 vs 25/30/36/40/45/49.Tidak banyak perbedaan dalam praktiknya.

Ukuran masalah terbesar yang dapat diselesaikan dalam waktu T adalah O (ln T) dalam kedua kasus.