Bagaimana cara saya menggunakan perbaikan, dan bagaimana cara kerjanya?

Saya agak bingung dengan dokumentasinya fix(meskipun saya pikir saya mengerti apa yang seharusnya dilakukan sekarang), jadi saya melihat kode sumbernya. Itu membuat saya lebih bingung:

fix :: (a -> a) -> a
fix f = let x = f x in x

Bagaimana tepatnya ini mengembalikan titik tetap?

Saya memutuskan untuk mencobanya di baris perintah:

Prelude Data.Function> fix id
...

Dan itu tergantung di sana. Agar adil, ini ada di macbook lama saya yang agak lambat. Namun, fungsi ini tidak bisa terlalu mahal secara komputasi karena apa pun yang diteruskan ke id mengembalikan hal yang sama (belum lagi itu tidak memakan waktu CPU). Apa yang saya lakukan salah?

Anda tidak melakukan kesalahan apa pun. fix idadalah lingkaran tak terbatas.

Ketika kami mengatakan bahwa fixmengembalikan titik tetap terkecil dari suatu fungsi, yang kami maksudkan dalam pengertian teori domain . Jadi fix (\x -> 2*x-1)ini tidak akan kembali 1, karena meskipun 1merupakan titik tetap fungsi itu, itu bukan sedikit satu di domain pemesanan.

Saya tidak dapat mendeskripsikan pemesanan domain hanya dalam satu atau dua paragraf, jadi saya akan merujuk Anda ke tautan teori domain di atas. Ini adalah tutorial yang sangat bagus, mudah dibaca, dan cukup mencerahkan. Saya sangat merekomendasikannya.

Untuk pemandangan dari 10.000 kaki, fixadalah fungsi tingkat tinggi yang mengkodekan gagasan rekursi . Jika Anda memiliki ekspresi:

let x = 1:x in x

Yang menghasilkan daftar tak terbatas [1,1..], Anda bisa mengatakan hal yang sama menggunakan fix:

fix (\x -> 1:x)

(Atau sederhananya fix (1:)), yang mengatakan carikan saya titik tetap dari (1:)fungsi, IOW nilai xsedemikian rupa sehingga x = 1:x... seperti yang kami definisikan di atas. Seperti yang Anda lihat dari definisi, fixtidak lebih dari ide ini - rekursi diringkas menjadi sebuah fungsi.

Ini juga merupakan konsep rekursi yang benar-benar umum - Anda dapat menulis fungsi rekursif apa pun dengan cara ini, termasuk fungsi yang menggunakan rekursi polimorfik . Jadi misalnya fungsi fibonacci yang khas:

fib n = if n < 2 then n else fib (n-1) + fib (n-2)

Dapat ditulis dengan fixcara ini:

fib = fix (\f -> \n -> if n < 2 then n else f (n-1) + f (n-2))

Latihan: perluas definisi fixuntuk menunjukkan bahwa kedua definisi fibini setara.

Tetapi untuk pemahaman penuh, baca tentang teori domain. Ini hal yang sangat keren.

Saya tidak mengklaim memahami ini sama sekali, tetapi jika ini membantu siapa pun ... maka hura.

Pertimbangkan definisi fix. fix f = let x = f x in x. Bagian yang membingungkan adalah yang xdidefinisikan sebagai f x. Tapi pikirkan sebentar.

x = f x

Karena x = fx, maka kita bisa mengganti nilai xdi sisi kanannya, bukan? Jadi karena itu ...

x = f . f $ x -- or x = f (f x)
x = f . f . f $ x -- or x = f (f (f x))
x = f . f . f . f . f . f . f . f . f . f . f $ x -- etc.

Jadi triknya adalah, untuk menghentikan, fharus menghasilkan semacam struktur, sehingga nanti fdapat mencocokkan pola struktur itu dan menghentikan rekursi, tanpa benar-benar peduli tentang "nilai" penuh dari parameternya (?)

Kecuali, tentu saja, Anda ingin melakukan sesuatu seperti membuat daftar tak terbatas, seperti yang diilustrasikan luqui.

Penjelasan faktorial TomMD bagus. Jenis tanda tangan Fix adalah (a -> a) -> a. Dengan kata lain, tipe tanda tangan untuk (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1)adalah . Jadi kita bisa bilang begitu . Dengan begitu, fix mengambil fungsi kita, yaitu , atau sebenarnya, dan akan mengembalikan hasil tipe , dengan kata lain ,, dengan kata lain, fungsi lain!(b -> b) -> b -> b(b -> b) -> (b -> b)a = (b -> b)a -> a(b -> b) -> (b -> b)ab -> b

Tunggu, saya pikir itu seharusnya mengembalikan titik tetap ... bukan fungsi. Ya, semacam (karena fungsi adalah data). Anda dapat membayangkan bahwa ini memberi kita fungsi definitif untuk mencari faktorial. Kami memberinya fungsi yang tidak tahu cara mengulang (maka salah satu parameternya adalah fungsi yang digunakan untuk berulang), dan fixmengajarkannya cara berulang.

Ingat bagaimana saya mengatakan itu f harus menghasilkan semacam struktur sehingga nantinya fpola dapat cocok dan dihentikan? Yah, itu tidak sepenuhnya benar, kurasa. TomMD mengilustrasikan bagaimana kita dapat memperluas xuntuk menerapkan fungsi dan langkah menuju kasus dasar. Untuk fungsinya, dia menggunakan if / then, dan itulah yang menyebabkan terminasi. Setelah penggantian berulang, inbagian dari seluruh definisi fixakhirnya berhenti didefinisikan dalam istilah xdan saat itulah ia dapat dihitung dan lengkap.

Anda membutuhkan cara agar fixpoint berhenti. Memperluas contoh Anda, jelas itu tidak akan selesai:

fix id
--> let x = id x in x
--> id x
--> id (id x)
--> id (id (id x))
--> ...

Berikut adalah contoh nyata saya menggunakan perbaikan (perhatikan saya tidak sering menggunakan perbaikan dan mungkin lelah / tidak khawatir tentang kode yang dapat dibaca ketika saya menulis ini):

(fix (\f h -> if (pred h) then f (mutate h) else h)) q

WTF, katamu! Ya, tapi ada beberapa poin yang sangat berguna di sini. Pertama-tama, fixargumen pertama Anda biasanya harus berupa fungsi yang merupakan kasus 'berulang' dan argumen kedua adalah data untuk bertindak. Berikut adalah kode yang sama dengan fungsi bernama:

getQ h
      | pred h = getQ (mutate h)
      | otherwise = h

Jika Anda masih bingung maka mungkin faktorial akan menjadi contoh yang lebih mudah:

fix (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) 5 -->* 120

Perhatikan evaluasinya:

fix (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) 3 -->
let x = (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) x in x 3 -->
let x = ... in (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) x 3 -->
let x = ... in (\d -> if d > 0 then d * (x (d-1)) else 1) 3

Oh, apa kamu baru saja melihatnya? Itu xmenjadi fungsi di dalam thencabang kami .

let x = ... in if 3 > 0 then 3 * (x (3 - 1)) else 1) -->
let x = ... in 3 * x 2 -->
let x = ... in 3 * (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) x 2 -->

Di atas Anda perlu ingat x = f x, maka dua argumen x 2di akhir, bukan hanya 2.

let x = ... in 3 * (\d -> if d > 0 then d * (x (d-1)) else 1) 2 -->

Dan saya akan berhenti di sini!

Bagaimana saya memahaminya adalah, ia menemukan nilai untuk fungsi tersebut, sehingga ia mengeluarkan hal yang sama dengan yang Anda berikan. Tangkapannya adalah, ia akan selalu memilih undefined (atau loop tak terbatas, dalam haskell, loop tak terdefinisi dan tak terbatas adalah sama) atau apa pun yang paling tak terdefinisi di dalamnya. Misalnya, dengan id,

λ <*Main Data.Function>: id undefined
*** Exception: Prelude.undefined

Seperti yang Anda lihat, undefined adalah titik tetap, jadi fixpilihlah itu. Jika Anda malah melakukan (\ x-> 1: x).

λ <*Main Data.Function>: undefined
*** Exception: Prelude.undefined
λ <*Main Data.Function>: (\x->1:x) undefined
[1*** Exception: Prelude.undefined

Jadi fixtidak bisa memilih undefined. Untuk membuatnya sedikit lebih terhubung ke loop tak terbatas.

λ <*Main Data.Function>: let y=y in y
^CInterrupted.
λ <*Main Data.Function>: (\x->1:x) (let y=y in y)
[1^CInterrupted.

Sekali lagi, ada sedikit perbedaan. Jadi apa titik tetapnya? Mari kita coba repeat 1.

λ <*Main Data.Function>: repeat 1
[1,1,1,1,1,1, and so on
λ <*Main Data.Function>: (\x->1:x) $ repeat 1
[1,1,1,1,1,1, and so on

Sama! Karena ini adalah satu-satunya titik tetap, fixharus menyelesaikannya. Maaf fix, tidak ada loop tanpa batas atau tidak ditentukan untuk Anda.