Fungsi invers perkalian modular dengan Python

Apakah beberapa modul Python standar berisi fungsi untuk menghitung invers perkalian modular dari sebuah bilangan, yaitu bilangan y = invmod(x, p)seperti itu x*y == 1 (mod p)? Google sepertinya tidak memberikan petunjuk bagus tentang ini.

Tentu saja, seseorang dapat membuat 10-liner buatan sendiri dari algoritma Euclidean yang diperluas , tetapi mengapa menemukan kembali roda.

Misalnya, Java BigIntegermemiliki modInversemetode. Bukankah Python memiliki sesuatu yang serupa?

Mungkin seseorang akan menganggap ini berguna (dari wikibook ):

def egcd(a, b):
    if a == 0:
        return (b, 0, 1)
    else:
        g, y, x = egcd(b % a, a)
        return (g, x - (b // a) * y, y)

def modinv(a, m):
    g, x, y = egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise Exception('modular inverse does not exist')
    else:
        return x % m

Jika modulus Anda adalah bilangan prima (Anda menyebutnya p) maka Anda dapat menghitung:

y = x**(p-2) mod p  # Pseudocode

Atau dengan Python:

y = pow(x, p-2, p)

Berikut adalah seseorang yang telah menerapkan beberapa kemampuan teori bilangan dengan Python: http://www.math.umbc.edu/~campbell/Computers/Python/numbthy.html

Berikut adalah contoh yang dilakukan saat diminta:

m = 1000000007
x = 1234567
y = pow(x,m-2,m)
y
989145189L
x*y
1221166008548163L
x*y % m
1L

Anda mungkin juga ingin melihat modul gmpy . Ini adalah antarmuka antara Python dan pustaka multi-presisi GMP. gmpy menyediakan fungsi invert yang melakukan apa yang Anda butuhkan:

>>> import gmpy
>>> gmpy.invert(1234567, 1000000007)
mpz(989145189)

Jawaban yang diperbarui

Seperti dicatat oleh @hyh, gmpy.invert()mengembalikan 0 jika invers tidak ada. Itu cocok dengan perilaku mpz_invert()fungsi GMP . gmpy.divm(a, b, m)memberikan solusi umum untuk a=bx (mod m).

>>> gmpy.divm(1, 1234567, 1000000007)
mpz(989145189)
>>> gmpy.divm(1, 0, 5)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: not invertible
>>> gmpy.divm(1, 4, 8)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: not invertible
>>> gmpy.divm(1, 4, 9)
mpz(7)

divm()akan mengembalikan solusi saat gcd(b,m) == 1dan memunculkan pengecualian saat pembalikan perkalian tidak ada.

Penafian: Saya adalah pengelola pustaka gmpy saat ini.

Jawaban yang diperbarui 2

gmpy2 sekarang memunculkan pengecualian dengan benar saat inversi tidak ada:

>>> import gmpy2

>>> gmpy2.invert(0,5)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: invert() no inverse exists

Pada 3.8 pythons pow () fungsi dapat mengambil modulus dan integer negatif. Lihat disini . Kasus mereka tentang cara menggunakannya adalah

>>> pow(38, -1, 97)
23
>>> 23 * 38 % 97 == 1
True

Berikut adalah satu baris untuk CodeFights ; ini adalah salah satu solusi terpendek:

MMI = lambda A, n,s=1,t=0,N=0: (n < 2 and t%N or MMI(n, A%n, t, s-A//n*t, N or n),-1)[n<1]

Ini akan kembali -1jika Atidak memiliki pembalikan perkaliann .

Pemakaian:

MMI(23, 99) # returns 56
MMI(18, 24) # return -1

Solusinya menggunakan Algoritma Euclidean yang Diperluas .

Sympy , modul python untuk matematika simbolik, memiliki fungsi invers modular bawaan jika Anda tidak ingin mengimplementasikannya sendiri (atau jika Anda sudah menggunakan Sympy):

from sympy import mod_inverse

mod_inverse(11, 35) # returns 16
mod_inverse(15, 35) # raises ValueError: 'inverse of 15 (mod 35) does not exist'

Ini sepertinya tidak didokumentasikan di situs web Sympy, tetapi inilah docstringnya: Sympy mod_inverse docstring di Github

Ini kode saya, mungkin ceroboh tetapi tampaknya tetap berfungsi untuk saya.

# a is the number you want the inverse for
# b is the modulus

def mod_inverse(a, b):
    r = -1
    B = b
    A = a
    eq_set = []
    full_set = []
    mod_set = []

    #euclid's algorithm
    while r!=1 and r!=0:
        r = b%a
        q = b//a
        eq_set = [r, b, a, q*-1]
        b = a
        a = r
        full_set.append(eq_set)

    for i in range(0, 4):
        mod_set.append(full_set[-1][i])

    mod_set.insert(2, 1)
    counter = 0

    #extended euclid's algorithm
    for i in range(1, len(full_set)):
        if counter%2 == 0:
            mod_set[2] = full_set[-1*(i+1)][3]*mod_set[4]+mod_set[2]
            mod_set[3] = full_set[-1*(i+1)][1]

        elif counter%2 != 0:
            mod_set[4] = full_set[-1*(i+1)][3]*mod_set[2]+mod_set[4]
            mod_set[1] = full_set[-1*(i+1)][1]

        counter += 1

    if mod_set[3] == B:
        return mod_set[2]%B
    return mod_set[4]%B

Kode di atas tidak akan berjalan di python3 dan kurang efisien dibandingkan dengan varian GCD. Namun, kode ini sangat transparan. Ini memicu saya untuk membuat versi yang lebih ringkas:

def imod(a, n):
 c = 1
 while (c % a > 0):
     c += n
 return c // a

Berikut adalah 1-liner ringkas yang melakukannya, tanpa menggunakan library eksternal apa pun.

# Given 0<a<b, returns the unique c such that 0<c<b and a*c == gcd(a,b) (mod b).
# In particular, if a,b are relatively prime, returns the inverse of a modulo b.
def invmod(a,b): return 0 if a==0 else 1 if b%a==0 else b - invmod(b%a,a)*b//a

Perhatikan bahwa ini benar-benar hanya egcd, disederhanakan untuk mengembalikan hanya koefisien tunggal yang menarik.

Untuk mengetahui pembalikan perkalian modular saya sarankan menggunakan Algoritma Euclidean yang Diperluas seperti ini:

def multiplicative_inverse(a, b):
    origA = a
    X = 0
    prevX = 1
    Y = 1
    prevY = 0
    while b != 0:
        temp = b
        quotient = a/b
        b = a%b
        a = temp
        temp = X
        a = prevX - quotient * X
        prevX = temp
        temp = Y
        Y = prevY - quotient * Y
        prevY = temp

    return origA + prevY

Saya mencoba solusi yang berbeda dari utas ini dan pada akhirnya saya menggunakan yang ini:

def egcd(a, b):
    lastremainder, remainder = abs(a), abs(b)
    x, lastx, y, lasty = 0, 1, 1, 0
    while remainder:
        lastremainder, (quotient, remainder) = remainder, divmod(lastremainder, remainder)
        x, lastx = lastx - quotient*x, x
        y, lasty = lasty - quotient*y, y
    return lastremainder, lastx * (-1 if a < 0 else 1), lasty * (-1 if b < 0 else 1)


def modinv(a, m):
    g, x, y = self.egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise ValueError('modinv for {} does not exist'.format(a))
    return x % m

Modular_inverse dengan Python

Yah, saya tidak memiliki fungsi di python tetapi saya memiliki fungsi di C yang dapat Anda ubah dengan mudah ke python, di bawah fungsi c, algoritma euclidian diperpanjang digunakan untuk menghitung mod terbalik.

int imod(int a,int n){
int c,i=1;
while(1){
    c = n * i + 1;
    if(c%a==0){
        c = c/a;
        break;
    }
    i++;
}
return c;}

Fungsi Python

def imod(a,n):
  i=1
  while True:
    c = n * i + 1;
    if(c%a==0):
      c = c/a
      break;
    i = i+1

  return c

Referensi fungsi C di atas diambil dari link program C berikut untuk mencari Pembalikan Perkalian Modular dari dua Bilangan Prima Relatif

dari kode sumber implementasi cpython :

def invmod(a, n):
    b, c = 1, 0
    while n:
        q, r = divmod(a, n)
        a, b, c, n = n, c, b - q*c, r
    # at this point a is the gcd of the original inputs
    if a == 1:
        return b
    raise ValueError("Not invertible")

menurut komentar di atas kode ini, ia dapat mengembalikan nilai negatif kecil, jadi Anda berpotensi memeriksa apakah negatif dan menambahkan n ketika negatif sebelum mengembalikan b.

Banyak dari tautan di atas yang rusak seperti pada 1/23/2017. Saya menemukan implementasi ini: https://courses.csail.mit.edu/6.857/2016/files/ffield.py