( Kejujuran dan integritas matematis - mengingat jumlah suara pada "jawaban" ini - telah mengarahkan saya untuk mengedit jawaban ini. Saya menahan selama mungkin karena itu dimaksudkan sebagai gurauan singkat dan bukan sebagai sesuatu yang "dalam" sehingga memasukkan penjelasan apa pun tampaknya bertentangan dengan tujuan. Namun, komentar tersebut menjelaskan bahwa saya harus jelas untuk menghindari kesalahpahaman. )
Jawaban asli saya:
Kata-kata dari bagian spesifikasi ini:
Jika 0, saya ingin mengaturnya ke 1, atau atur ke 0.
menyiratkan bahwa solusi yang paling akurat adalah:
v = dirac_delta(0,v)
Pertama, pengakuan: Saya memang bingung fungsi delta saya. Delta Kronecker akan sedikit lebih tepat, tetapi tidak sebanyak yang saya inginkan dari sesuatu yang bebas domain (delta Kronecker terutama digunakan hanya untuk bilangan bulat). Tapi saya seharusnya tidak menggunakan fungsi delta sama sekali, saya seharusnya mengatakan:
v = characteristic_function({0},v)
Izinkan saya mengklarifikasi. Ingat bahwa fungsi adalah triple, (X, Y, f) , di mana X dan Y adalah set (disebut domain dan kodomain masing-masing) dan f adalah aturan yang ditunjuk unsur Y untuk setiap elemen X . Kami sering menulis triple (X, Y, f) sebagai f: X → Y . Diberikan subset dari X , katakanlah A , ada fungsi karakteristik yang merupakan fungsi χ A : X → {0,1}(itu juga dapat dianggap sebagai fungsi untuk codomain yang lebih besar seperti ℕ atau ℝ). Fungsi ini ditentukan oleh aturan:
χ A (x) = 1 jika x ∈ A dan χ A (x) = 0 jika x ∉ A .
Jika Anda menyukai tabel kebenaran, ini adalah tabel kebenaran untuk pertanyaan "Apakah elemen x dari X merupakan elemen dari subset A ?".
Jadi dari definisi ini, jelas bahwa fungsi karakteristik adalah apa yang diperlukan di sini, dengan X set besar berisi 0 dan A = {0} . Itu yang seharusnya saya tulis.
Dan begitu juga untuk delta fungsi. Untuk ini, kita perlu tahu tentang integrasi. Entah Anda sudah mengetahuinya, atau tidak. Jika tidak, tidak ada yang bisa saya katakan di sini yang akan memberi tahu Anda tentang seluk beluk teori ini, tetapi saya bisa memberikan ringkasan satu kalimat. Sebuah ukuran pada set X pada dasarnya "apa yang diperlukan untuk membuat rata-rata bekerja". Dengan kata lain, jika kita memiliki himpunan X dan ukuran μ pada himpunan itu maka ada kelas fungsi X → ℝ , yang disebut fungsi terukur yang ekspresi ∫ X f dμ masuk akal dan, dalam arti yang samar, "rata-rata" dari f lebih X .
Diberikan ukuran pada set, seseorang dapat mendefinisikan "ukuran" untuk himpunan bagian dari set itu. Ini dilakukan dengan menetapkan subset integral dari fungsi karakteristiknya (dengan asumsi bahwa ini adalah fungsi yang dapat diukur). Ini bisa tak terbatas, atau tidak terdefinisi (keduanya agak berbeda).
Ada banyak langkah di sekitar, tetapi ada dua yang penting di sini. Salah satunya adalah ukuran standar pada garis nyata, ℝ. Untuk ukuran ini, maka ∫ ℝ f dμ cukup banyak apa yang Anda dapatkan di sekolah (apakah kalkulus masih diajarkan di sekolah?): Jumlahkan persegi kecil dan ambil lebar yang lebih kecil dan lebih kecil. Dalam ukuran ini, ukuran interval adalah lebarnya. Ukuran suatu titik adalah 0.
Ukuran penting lainnya, yang bekerja pada set apa pun , disebut ukuran titik . Ini didefinisikan agar integral suatu fungsi adalah jumlah dari nilainya:
∫ X f dμ = ∑ x ∈X f (x)
Ukuran ini menetapkan untuk setiap singleton mengatur ukuran 1. Ini berarti bahwa subset memiliki ukuran terbatas jika dan hanya jika itu sendiri terbatas. Dan sangat sedikit fungsi memiliki integral yang terbatas. Jika suatu fungsi memiliki integral terbatas, itu harus bukan nol hanya pada jumlah poin yang dapat dihitung . Jadi sebagian besar fungsi yang mungkin Anda ketahui tidak memiliki integral hingga dalam ukuran ini.
Dan sekarang untuk fungsi delta. Mari kita ambil definisi yang sangat luas. Kami memiliki ruang terukur (X, μ) (jadi itu satu set dengan ukuran di atasnya) dan elemen sebuah ∈ X . Kami "mendefinisikan" fungsi delta (tergantung pada a ) menjadi "fungsi" δ a : X → ℝ dengan properti yang δ a (x) = 0 jika x ≠ a dan ∫ X δ a dμ = 1 .
Fakta paling penting tentang hal ini untuk ditahan adalah ini: Fungsi delta tidak harus berupa fungsi . Hal ini tidak benar didefinisikan: Saya belum mengatakan apa delta a (a) adalah.
Apa yang Anda lakukan pada titik ini tergantung pada siapa Anda. Dunia di sini terbagi menjadi dua kategori. Jika Anda seorang ahli matematika, Anda mengatakan yang berikut:
Oke, jadi fungsi delta mungkin tidak ditentukan. Penampilan Mari kita lihat sifat hipotetis dan melihat apakah kita dapat menemukan rumah yang tepat untuk itu di mana itu adalah didefinisikan. Kita bisa melakukan itu, dan kita berakhir dengan distribusi . Ini bukan fungsi (tentu saja), tetapi adalah hal-hal yang berperilaku sedikit seperti fungsi, dan seringkali kita dapat bekerja dengannya seolah-olah mereka adalah fungsi; tetapi ada hal-hal tertentu yang tidak mereka miliki (seperti "nilai") jadi kita perlu berhati-hati.
Jika Anda bukan ahli matematika, Anda mengatakan yang berikut:
Oke, jadi fungsi delta mungkin tidak didefinisikan dengan benar. Siapa bilang begitu? Sekelompok ahli matematika? Abaikan mereka! Apa yang mereka tahu
Setelah menyinggung hadirin saya, saya akan melanjutkan.
The Dirac delta biasanya diambil menjadi fungsi delta dari titik (sering 0) di garis nyata dengan ukuran standar. Jadi mereka yang mengeluh dalam komentar tentang saya tidak tahu delta saya melakukannya karena mereka menggunakan definisi ini. Bagi mereka, saya minta maaf: walaupun saya bisa keluar dari itu dengan menggunakan pertahanan Matematik (seperti yang dipopulerkan oleh Humpty Dumpty : cukup mendefinisikan kembali semuanya sehingga itu benar), itu adalah bentuk yang buruk untuk menggunakan istilah standar untuk mengartikan sesuatu yang berbeda.
Tapi ada adalah fungsi delta yang tidak melakukan apa yang saya ingin lakukan dan itu adalah bahwa yang saya butuhkan di sini. Jika saya mengambil ukuran titik pada set X kemudian ada adalah fungsi asli δ sebuah : X → ℝ yang memenuhi kriteria untuk fungsi delta. Ini karena kita mencari fungsi X → ℝ yang nol kecuali pada a dan sedemikian rupa sehingga jumlah semua nilainya adalah 1. Fungsi tersebut sederhana: satu-satunya informasi yang hilang adalah nilainya di a , dan untuk mendapatkan jumlah menjadi 1 kita hanya menetapkan nilai 1. Ini tidak lain adalah fungsi karakteristik pada {a} . Kemudian:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1.
Jadi dalam hal ini, untuk himpunan tunggal, fungsi karakteristik dan fungsi delta setuju.
Kesimpulannya, ada tiga keluarga "fungsi" di sini:
- Fungsi karakteristik dari set singleton,
- Fungsi delta,
- Delta Kronecker berfungsi.
Yang kedua adalah yang paling umum karena yang lain adalah contoh ketika menggunakan ukuran titik. Tetapi yang pertama dan ketiga memiliki keuntungan bahwa fungsi mereka selalu asli. Yang ketiga sebenarnya adalah kasus khusus yang pertama, untuk keluarga domain tertentu (bilangan bulat, atau sebagian daripadanya).
Jadi, akhirnya, ketika saya awalnya menulis jawaban yang saya tidak berpikir benar (saya tidak akan pergi sejauh mengatakan bahwa saya bingung , karena saya berharap saya baru saja menunjukkan saya tidak tahu apa yang saya bicarakan ketika Saya sebenarnya berpikir dulu, saya hanya tidak berpikir banyak). Arti yang biasa dari dirac delta bukanlah yang diinginkan di sini, tetapi salah satu poin dari jawaban saya adalah bahwa domain input tidak didefinisikan sehingga delta Kronecker juga tidak akan benar. Dengan demikian jawaban matematis terbaik (yang saya tuju) adalah fungsi karakteristik .
Saya harap itu semua jelas; dan saya juga berharap bahwa saya tidak perlu menulis karya matematika lagi menggunakan entitas HTML daripada makro TeX!