Apa pembenaran matematis untuk "universalitas" dari set universal gerbang kuantum (CNOT, H, Z, X dan π / 8)?

Dalam jawaban ini saya sebutkan bahwa gerbang CNOT, H, X, Z dan membentuk satu set gerbang universal, yang diberikan dalam jumlah yang cukup dari gerbang dapat secara sewenang-wenang mendekati replikasi setiap gerbang kuantum kesatuan (saya jadi tahu tentang fakta ini dari kuliah EdX Profesor Umesh Vazirani). Tapi, adakah pembenaran matematis untuk ini? Seharusnya ada! Saya mencoba mencari makalah yang relevan tetapi tidak menemukan banyak. $\pi/8$

quantum-gate universal-gates gate-synthesis

— Sanchayan Dutta
sumber

Jawaban:

Jawaban yang Anda sebutkan merujuk pada buku Michael Nielsen dan Isaac Chuang, Komputasi Quantum dan Informasi Quantum (Cambridge University Press), yang memang berisi bukti universalitas gerbang-gerbang ini. (Dalam edisi 2000 saya, ini dapat ditemukan pada hal. 194.) Wawasan utama adalah bahwa gerbang (atau gerbang), bersama dengan gerbang , menghasilkan dua rotasi berbeda pada bola Bloch dengan sudut yang adalah kelipatan irasional . Ini memungkinkan kombinasi dan $T$ $\pi/8$ $H$ $2\pi$ $T$ $H$ gerbang untuk secara padat mengisi permukaan bola Bloch dan dengan demikian mendekati operator kesatuan satu-qubit.

Bahwa ini dapat dilakukan secara efisien ditunjukkan oleh teorema Solovay-Kitaev . Di sini, "efisien" berarti polinomial dalam , di mana adalah akurasi yang diinginkan. Ini juga terbukti dalam buku Nielsen dan Chuang (Lampiran 3 dalam edisi 2000). Konstruksi eksplisit dapat ditemukan di https://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030 $\log(1/\epsilon)$ $\epsilon$ .

Menggabungkan gerbang CNOT memungkinkan seseorang untuk mendekati unitari multi-qubit yang sewenang-wenang, seperti yang ditunjukkan oleh Barenco et al. dalam Phys. Pendeta A 52 3457 (1995). (Cetakan awal makalah ini dapat ditemukan di https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 .) Ini juga dibahas dalam Nielsen dan Chuang (hlm. 191 dalam edisi 2000).

— Brian R. La Cour
sumber

Orang bisa mendapatkan hasil yang lebih kuat menggunakan Kliuchnikov, Maslov, dan Mosca terbukti di Giles Selinger .

— AHusain

Anda bahkan tidak perlu dan . , , dan sudah cukup. $Z$ $X$
$\rm{CNOT}$ $H$ $T=\pi/8$

$H$ $T$
$\rm{CNOT}$ $\epsilon>0$ $\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

$\epsilon=0$ $\pi/2$ $\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$ , di mana semua variabel adalah bilangan bulat. Hebatnya, paling banyak 1 qubit tambahan diperlukan untuk sintesis yang tepat ini.

Gerbang universal lainnya adalah , dan pada kenyataannya ada satu gerbang yang uniersal: gerbang Deutsch 3-qubit . $\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$

— pengguna1271772
sumber

CCNOT + H adalah universal dalam arti yang berbeda, meskipun: Ini adalah komputasi universal, tetapi tidak dapat mewujudkan gerbang apa pun.

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch: Apakah satu-satunya masalah dengan CCNOT + H, fakta bahwa ia tidak dapat mewujudkan gerbang 2-qubit? Bukankah itu juga masalah dengan gerbang Deutsch? Jika satu set gerbang dapat mensimulasikan perhitungan kuantum dengan sembarang

, maka tentunya ia dapat mensimulasikan sembarang gerbang kuantum dengan sembarang

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— user1271772

Nggak. Ia tidak dapat mewujudkan gerbang mana pun dengan koefisien kompleks (= tidak nyata), karena alasan yang jelas. Ini adalah komputasi universal, yaitu ia dapat menjalankan sembarang q. perhitungan, tetapi tidak melakukannya dengan gerbang implementasi satu-ke-satu kata, tetapi beberapa realisasi setara. Jadi, jika Anda ingin mewujudkan kesatuan (yang tampaknya menjadi titik pertanyaan), itu bukanlah gerbang universal.

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch: Contoh perhitungan kuantum adalah mensimulasikan kesatuan yang kompleks. Jadi jika CCNOT + H dapat melakukan q. perhitungan, tidak bisakah mendekati sembarang simulasi unitary?

— user1271772

CCNOT dan H hanya memiliki entri nyata. TIDAK ADA CARA Anda akan mendapatkan gerbang APAPUN dengan entri yang kompleks. --- Secara lebih umum, ada (setidaknya) 3 pengertian "simulasi": Dapatkan kesatuan, dapatkan statistik pengukuran komputer kuantum, atau pecahkan masalah BQP. CCNOT + H bersifat universal dalam pengertian ke-2 (dan ke-3), tetapi tidak dalam arti yang pertama.

— Norbert Schuch