Jika semua gerbang kuantum harus bersatu, bagaimana dengan pengukuran?

Semua operasi kuantum harus satu kesatuan untuk memungkinkan reversibilitas, tetapi bagaimana dengan pengukuran? Pengukuran dapat direpresentasikan sebagai matriks, dan matriks tersebut diterapkan pada qubit, sehingga nampaknya setara dengan operasi gerbang kuantum. Itu pasti tidak dapat dibalik. Apakah ada situasi di mana gerbang non-kesatuan mungkin diizinkan?

Operasi kesatuan hanya merupakan kasus khusus dari operasi kuantum , yang linear, peta yang benar-benar positif ("saluran") yang memetakan operator kepadatan ke operator kepadatan. Hal ini menjadi jelas dalam Kraus-representasi dari saluran,

Namun, gerbang kuantum adalah kesatuan, karena mereka diimplementasikan melalui aksi Hamiltonian untuk waktu tertentu, yang memberikan evolusi waktu kesatuan menurut persamaan Schrödinger.

Jawaban singkat

Operasi kuantum tidak perlu bersifat kesatuan. Bahkan, banyak algoritma dan protokol kuantum memanfaatkan non-unitaritas.

Jawaban panjang

Pengukuran bisa dibilang contoh yang paling jelas dari transisi non-kesatuan menjadi komponen fundamental dari algoritma (dalam arti bahwa "pengukuran" adalah setara dengan sampel dari distribusi probabilitas diperoleh setelah operasi decoherence ).$\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

Lebih umum, setiap algoritma kuantum yang melibatkan langkah-langkah probabilistik memerlukan operasi non-kesatuan. Contoh penting yang terlintas dalam pikiran adalah algoritma HHL09 untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (lihat 0811.3171 ). Langkah penting dalam algoritma ini adalah pemetaan , di mana | λ j ⟩ adalah vektor eigen dari beberapa operator. Pemetaan ini tentu probabilistik dan karenanya non-kesatuan.$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$

Algoritma atau protokol apa pun yang memanfaatkan umpan-maju (klasik) juga memanfaatkan operasi non-kesatuan. Ini adalah keseluruhan protokol komputasi kuantum satu arah (yang, seperti namanya, memerlukan operasi yang tidak dapat dibalik).

Skema yang paling terkenal untuk perhitungan kuantum optik dengan foton tunggal juga memerlukan pengukuran dan kadang-kadang pasca seleksi untuk melibatkan keadaan foton yang berbeda. Sebagai contoh, protokol KLM menghasilkan gerbang probabilistik, yang karenanya setidaknya sebagian tidak dapat dibalik. Ulasan bagus untuk topik ini adalah quant-ph / 0512071 .

Contoh-contoh yang kurang intuitif diberikan oleh teknik keadaan kuantum yang diinduksi-disipasi (mis. 1402.0529 atau srep10656 ). Dalam protokol-protokol ini, seseorang menggunakan dinamika disipatif peta terbuka, dan merekayasa interaksi keadaan dengan lingkungan sedemikian rupa sehingga keadaan diam lama dari sistem adalah yang diinginkan.

Beresiko keluar dari topik dari komputasi kuantum dan menjadi fisika, saya akan menjawab apa yang saya pikir merupakan pertanyaan yang relevan dari topik ini, dan menggunakannya untuk menginformasikan diskusi gerbang kesatuan dalam komputasi kuantum.

Pertanyaannya di sini adalah: Mengapa kita ingin kesatuan di gerbang kuantum?

Jawaban yang kurang spesifik adalah seperti di atas, itu memberi kita 'reversibilitas', atau seperti yang sering dibicarakan oleh fisikawan, sejenis simetri untuk sistem. Saya mengambil kursus di mekanika kuantum sekarang, dan cara gerbang kesatuan dipotong dalam kursus yang dimotivasi oleh keinginan untuk memiliki transformasi fisik U : yang bertindak sebagai simetri. Ini dikenakan dua kondisi pada transformasi U :$\hat{U}$$\hat{U}$

1. Transformasi harus bertindak secara linear pada negara (inilah yang memberi kita representasi matriks).
2. Transformasi harus menjaga kemungkinan, atau lebih khusus produk dalam . Ini berarti bahwa jika kita mendefinisikan:

Pelestarian berarti produk batin yang . Dari spesifikasi kedua ini, unitarity dapat diturunkan (untuk perincian lengkap lihat catatan Dr. van Raamsdonk di sini ).$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

Jadi ini menjawab pertanyaan mengapa operasi yang menjaga hal-hal "reversibel" harus bersifat kesatuan.

Pertanyaan mengapa pengukuran itu sendiri bukan kesatuan adalah lebih terkait dengan perhitungan kuantum. Pengukuran adalah proyeksi atas dasar; pada dasarnya, ia harus "menjawab" dengan satu atau lebih basis negara sebagai negara itu sendiri. Ini juga meninggalkan negara dengan cara yang konsisten dengan "jawaban" untuk pengukuran, dan tidak konsisten dengan probabilitas yang mendasari bahwa negara mulai dengan. Jadi operasi memenuhi spesifikasi 1. transformasi $U$ , tetapi secara definitif tidak memenuhi spesifikasi 2. Tidak semua matriks dibuat sama!

Untuk melengkapi hal-hal kembali ke perhitungan kuantum, fakta bahwa pengukuran bersifat destruktif dan projektif (mis. Kita hanya dapat merekonstruksi superposisi melalui pengukuran berulang dari keadaan yang identik, dan setiap pengukuran hanya memberi kita jawaban 0/1), adalah bagian dari apa yang membuat pemisahan antara komputasi kuantum dan komputasi reguler yang halus (dan bagian dari mengapa sulit untuk dijelaskan). Orang mungkin berasumsi komputasi kuantum lebih kuat karena ukuran ruang Hilbert belaka, dengan semua superposisi negara tersedia untuk kita. Tetapi kemampuan kami untuk mengekstrak informasi itu sangat terbatas.

Sejauh yang saya mengerti ini menunjukkan bahwa untuk keperluan penyimpanan informasi, qubit hanya sebagus bit biasa, dan tidak lebih baik. Tetapi kita bisa pintar dalam perhitungan kuantum dengan cara informasi diperdagangkan, karena struktur linear-aljabar yang mendasarinya.

There are several misconceptions here, most of them originate from exposure to only the pure state formalism of quantum mechanics, so let's address them one by one:

1. All quantum operations must be unitary to allow reversibility, but what about measurement?

Ini salah. Secara umum, keadaan sistem kuantum bukan hanya vektor dalam ruang Hilbert tetapi juga matriks kerapatan - unit-trace, operator semidefinit positif yang bekerja pada ruang Hilbert H yaitu, ρ : H → H , T r ( ρ ) = 1 , dan ρ ≥ 0 (Perhatikan bahwa vektor keadaan murni bukan vektor dalam ruang Hilbert tetapi sinar dalam ruang proyektif yang kompleks ; untuk qubit jumlah ini ke ruang Hilbert menjadi C P 1 dan bukan C$\mathcal{H}$ $-$$\mathcal{H}$$\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$$Tr(\rho) = 1$$\rho \geq 0$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}^2$). Density matrices are used to describe a statistical ensemble of quantum states.

The density matrix is called pure if $\rho^2 = \rho$ and mixed if $\rho^2 < \rho$. Once we are dealing with a pure state density matrix (that is, there's no statistical uncertainty involved), since $\rho^2 = \rho$, the density matrix is actually a projection operator and one can find a $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ such that $\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$.

The most general quantum operation is a CP-map (completely positive map), i.e., $\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$ such that

Now, coming to the OP's claim that all quantum operations are unitary to allow reversibility -- this is just not true. The unitarity of time evolution operator ($e^{-iHt/\hbar}$) in quantum mechanics (for closed system quantum evolution) is simply a consequence of the Schrödinger equation.

However, when we consider density matrices, the most general evolution is a CP-map (or CPTP for a closed system to preserve the trace and hence the probability).

2. Are there any situations where non-unitary gates might be allowed?

Yes. An important example that comes to mind is open quantum systems where Kraus operators (which are not unitary) are the "gates" with which the system evolves.

Note that if there is only a single Kraus operator then, $\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$. But there's only one $i$, therefore, we have, $K^\dagger K = \mathbb{I}$ or, $K$ is unitary. So the system evolves as $\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$ (which is the standard evolution that you may have seen before). However, in general, there are several Kraus operators and therefore the evolution is non-unitary.

Coming to the final point:

3. Measurement can be represented as a matrix, and that matrix is applied to qubits, so that seems equivalent to the operation of a quantum gate. That's definitively not reversible.

In standard quantum mechanics (with wavefunctions etc.), the system's evolution is composed of two parts $-$ a smooth unitary evolution under the system's Hamiltonian and then a sudden quantum jump when a measurement is made $-$ also known as wavefunction collapse. Wavefunction collapses are described as some projection operator say $|\phi\rangle \langle\phi|$ acting on the quantum state $|\psi\rangle$ and the $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ gives us the probability of finding the system in the state $|\phi\rangle$ after the measurement. Since the measurement operator is after all a projector (or as the OP suggests, a matrix), shouldn't it be linear and physically similar to the unitary evolution (also happening via a matrix). This is an interesting question and in my opinion, difficult to answer physically. However, I can shed some light on this mathematically.

If we are working in the modern formalism, then measurements are given by POVM elements; Hermitian positive semidefinite operators, $\{M_{i}\}$ on a Hilbert space $\mathcal{H}$ that sum to the identity operator (on the Hilbert space) $\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$. Therefore, a measurement takes the form

The $\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$ is the probability of the measurement outcome being $M_i$ and is used to renormalize the state to unit trace. Note that the numerator, $\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$ is a linear operation, but the probabilistic dependence on $p_i$ is what brings in the non-linearity or irreversibility.

Edit 1: You might also be interested Stinespring dilation theorem which gives you an isomorphism between a CPTP map and a unitary operation on a larger Hilbert space followed by partial tracing the (tensored) Hilbert space (see 1, 2).

I'll add a small bit complementing the other answers, just about the idea of measurement.

Measurement is usually taken as a postulate of quantum mechanics. There's usually some preceding postulates about hilbert spaces, but following that

• Every measurable physical quantity $A$ is described by an operator $\hat{A}$ acting on a Hilbert space $\mathcal{H}$. This operator is called an observable, and it's eigenvalues are the possibly outcomes of a measurement.
• If a measurement is made of the observable $A$, in the state of the system $\psi$, and the outcome is $a_n$, then the state of the system immediately after measurement is $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ where $\hat{P}_n$ is the projector onto the eigen-subspace of the eigenvalue $a_n$.

Normally the projection operators themselves should satisfy $\hat{P}^\dagger=\hat{P}$ and $\hat{P}^2=\hat{P}$, which means they themselves are observables by the above postulates, and their eigenvalues $1$ or $0$. Supposing we take one of the $\hat{P}_n$ above, we can interpret the $1,0$ eigenvalues as a binary yes/no answer to whether the observable quantity $a_n$ is available as an outcome of measurement of the state $|\psi\rangle$.

Measurements are unitary operations, too, you just don't see it: A measurement is equivalent to some complicated (quantum) operation that acts not just on the system but also on its environment. If one were to model everything as a quantum system (including the environment), one would have unitary operations all the way.

However, usually there is little point in this because we usually don't know the exact action on the environment and typically don't care. If we consider only the system, then the result is the well-known collapse of the wave function, which is indeed a non-unitary operation.

Quantum states can change in two ways: 1. quantumly, 2. classically.

1. All the state changes taking place quantumly, are unitary. All the quantum gates, quantum errors, etc., are quantum changes.

2. There is no obligation on classical changes to be unitary, e.g. measurement is a classical change.

All the more reason, why it is said that the quantum state is 'disturbed' once it's measured.